Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ Tìm $g(x)=f^{[n]}(x)$

- - - - - mhb

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$



#2
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết


Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$

Kí hiệu $f^{[m]}(x)=\underbrace{f(f(...f}_{m}(x)...))$

Dễ thấy $x>0\Rightarrow f(x)>0,x<0\Rightarrow f(x)<0,x=0\Rightarrow f(x)=0$

Với $x>0$

Viết lại $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$

Nên $f(f(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \right )^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}$

Chứng minh theo qui nạp rằng $f^{[n]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{n+\dfrac{1}{x^2}}},\forall n\in \mathbb{N}$

Giả sử đúng với $n=k$ ta chứng minh nó đúng với $n=k+1$

Thật vậy $f^{[k+1]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f^{[k]}(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{k+\dfrac{1}{x^2}}} \right)^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1+\dfrac{1}{x^2}}}$

Vậy $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2013+\dfrac{1}{x^2}}},\forall x>0$

Với $x=0$ thì dễ thấy $g(x)=0$

Với $x<0$ thì viết lại $f(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$ rồi chứng minh tương tự trường hợp $x>0$ :))

Cuối cùng thì hàm $g$ cần tìm là $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2013x^2+1}}$


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhb

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh