Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$
#2
Đã gửi 21-09-2013 - 12:33
Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$
Kí hiệu $f^{[m]}(x)=\underbrace{f(f(...f}_{m}(x)...))$
Dễ thấy $x>0\Rightarrow f(x)>0,x<0\Rightarrow f(x)<0,x=0\Rightarrow f(x)=0$
Với $x>0$
Viết lại $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$
Nên $f(f(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \right )^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}$
Chứng minh theo qui nạp rằng $f^{[n]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{n+\dfrac{1}{x^2}}},\forall n\in \mathbb{N}$
Giả sử đúng với $n=k$ ta chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Thật vậy $f^{[k+1]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f^{[k]}(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{k+\dfrac{1}{x^2}}} \right)^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1+\dfrac{1}{x^2}}}$
Vậy $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2013+\dfrac{1}{x^2}}},\forall x>0$
Với $x=0$ thì dễ thấy $g(x)=0$
Với $x<0$ thì viết lại $f(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$ rồi chứng minh tương tự trường hợp $x>0$
Cuối cùng thì hàm $g$ cần tìm là $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2013x^2+1}}$
- perfectstrong, hxthanh, ducthinh26032011 và 5 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhb
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng →
Tìm toạ độ của $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$Bắt đầu bởi hxthanh, 23-09-2013 mhb |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh