Chủ đề này có 4 trả lời

[hungmind]

$\sqrt{a^{2}+2bc}+\sqrt{b^{2}+2ac}+\sqrt{c^{2}+2ab} \leq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

[ngoctruong236]

$\,Ap \, dung\,BDT \, Bunhia,ta\,co \, (\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab})^2\leq 3(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)).Ta\, co\,a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\rightarrow \frac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)\geq \frac{1}{2}(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)\geq \,2(ab+bc+ca)-\frac{3}{2}(ab+bc+ca) \rightarrow \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{3}{4}(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\rightarrow dpcm\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,$

[nghiemthanhbach]

Áp dụng BĐT Buhiacopsky cho 3 số ta có: $(\sum_{cyc}^{ } \sqrt{a^2+2bc})$$\geq 3(\sum_{cyc} a^2+2\sum_{cyc} ab)$

Tự chứng minh: $\sum a^2\geq \sum ab$

$\rightarrow \frac{\sum a^2}{2}\geq \frac{\sum ab}{2}\rightarrow \frac{3}{4}\left ( \sum a \right )^2\geq \sum a^2+2\sum ab \rightarrow$ đpcm

Chú thích: $\sum _{cyc}$ là tổng hoán vị nhé, mấy cái sau cũng thế mà mình lười ghi quá

[mua_buon_97]

$\sqrt{a^{2}+2bc}+\sqrt{b^{2}+2ac}+\sqrt{c^{2}+2ab} \leq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

Sao nhỉ? Mình thử với a=b=c=1 thì bất đẳng thức k đúng mà?

[nghiemthanhbach]

Sao nhỉ? Mình thử với a=b=c=1 thì bất đẳng thức k đúng mà?

Vậy là không có dấu bằng xảy ra rồi

Mình chưa giải dấu bằng nên cũng chưa biết, hình như đề chỉ có dấu $<$ thôi!