Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm toạ độ của $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$

mhb

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2013 - 11:01

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)

polygon.png

 

$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.

$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 07-07-2014 - 18:59

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)
attachicon.gifpolygon.png
 
$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.
$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


 
Để đơn giản, ta có thể dùng tọa độ phức cho bài toán này và sử dụng các chữ cái nhỏ (vd, $p$) cho các điểm (vd, $P$), ta có công thức:
$\left\{\begin{matrix}
p_1=1, p_2=1+i, p_3=i, p_4=0
\\ p_{n+4}=\frac{p_n+p_{n+1}}{2}\Leftrightarrow 2p_{n+4}-p_{n+1}-p_{n}=0
\end{matrix}\right.$

Xét phương trình đặc trưng:
$2 \lambda ^4-\lambda-1=0\\ \Leftrightarrow (\lambda -1)(2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1)=0\\ \Leftrightarrow \lambda =1 {v} 2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$

Ta có công thức tổng quát cho dãy $p_n$:
$p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$
(Trong đó, $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$ là các nghiệm của phương trình $2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$ $(1)$, và dễ thấy, $1^n=1\forall n\in N$)

Ta giải câu $\fbox b$ trước tiên:

Tọa độ phức của $P$ là: $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n$

Ta sẽ chứng minh $|\lambda _i|<1$ :
Ta có phương trình $(1)$ phải có 1 nghiệm thực (lấy là $\lambda _1$) và cặp nghiệm phức liên hợp ($\lambda _2$ và $\lambda _3$) do với $f(x)=2 x^3+2 x^2+2 x+1$, $f'(x)=6 x^2+4 x+2=4 x^2+2(x+1)^2>0\forall x$.

Với $f(-1)=-1<0$ và $f(-0.5)=0.25>0$, ta có: $-1<\lambda _1<-0.5$ $\left(0.5<|\lambda _1|<1\right)$

Theo định lí Viette, ta lại có: $\lambda _1 \lambda _2 \lambda _3=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \lambda _2 \lambda _3=|\lambda _2|^2=|\lambda _3|^2=\frac{-0.5}{\lambda _1}<1$ (cặp nghiệm phức liên hợp)

Theo đó, ta có $|\lambda _i|<1\forall i$

Vì vậy, $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n=a$

Ta lại có: $2p_3+2p_2+2p_1+p_0=7a+\sum_ia_i(2\lambda _i^3+2\lambda _i^2+2\lambda _i+1)$
Theo đó: $p=a=\frac{2p_3+2p_2+2p_1+p_0}{7}=\frac{3}{7}+i \frac{4}{7}$
($p_0=2p_4-p_1=-1$)

Tọa độ của $P$ là: $\left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right)$

Câu $\fbox a$:

Với công thức $p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, lấy:
$z_n=p_n-a=a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, theo đó, ta có công thức truy hồi của $z_n$ là:
$2z_{n+3}+2z_{n+2}+2z_{n+1}+z_{n}=0$
Thế lại $p_n$, ta có:
$2p_{n+3}+2p_{n+2}+2p_{n+1}+p_{n}=7a=3+4i\\\Leftrightarrow \frac{1}{2} p_{n}+p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}=\frac{3}{2}+2i$

Theo đó:
$\frac{1}{2} x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} y_{n}+y_{n+1}+y_{n+2}+y_{n+3}=2$
 
Spoiler

^^~





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhb

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh