Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút

Bài 1:(4 điểm)

1.Giải phương trình: $\tan 2x+\sin 2x=\frac{3}{2}\cot x$

2.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}-\sin(5y-x)=3y-3x+1\\3^{5y-x}-\sin(x+y)=-x-y+1 \end{matrix}\right.$

Bài 2:(4 điểm)

1.Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+2y+3z=2013$

2.Cho $11$ số nguyên dương có tổng là $2013$.Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra trong chúng hai số $x,y$ sao cho $1 \leq \frac{x}{y}<2$.

Bài 3:(4 điểm)

1.Cho đoạn thẳng $AB$.Trên tia đối tia $AB$ lấy điểm $M$, dựng hai tam giác đều $AMD$;$BME$ nằm về hai phía so với đường thẳng $AB$.$I$ là trung điểm $DE$.Khi M di động tìm vị trí của $M$ để độ dài $AI$ ngắn nhất.

2.Cho tứ diện $ABCD$.Trên các tia đối các tia $BA$,$CA$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BM=2CN=3DP$.Tìm tập hợp trọng tâm tam giác $MNP$.

Bài 4:(4 điểm)

1.Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$f(x;y)=(e^x-ey+2)^2+(x-y)^2$

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

2.Xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+y)+2y^2+2xy+2y=f(x)-f(y)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 24-09-2013 - 18:01

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 4: Áp dụng AM-GM ta có $a^2+bc\geqslant 2a\sqrt{bc}$

                       $\Rightarrow \frac{1}{a^2+bc}\leqslant \frac{1}{2a\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{bc}}{2abc}\leqslant \frac{b+c}{4abc}$T

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết

1.Giải phương trình: $\tan 2x+\sin 2x=\frac{3}{2}\cot x$

Đặt $t=\tan x$.

Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{2t}{1-t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{3}{2t}$  Điều kiện $t\ne0; t\ne\pm 1$.

$\Leftrightarrow \frac{4t}{1-t^4}=\frac{3}{2t}\Leftrightarrow 3t^4+8t^2-3=0\Leftrightarrow t^2=\frac{1}{3}\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{\sqrt3}$

(Hai nghiệm này đều thỏa mãn)

Thay vào ta được nghiệm $x$ là $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi$ với $k\in\mathbb{Z}$.



#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

Lời giải. Ta cần chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ thì $$\begin{cases} n \equiv 0,1,2 \pmod{5} \Rightarrow u_n \equiv 4 \pmod{11} \\ n \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow u_n \equiv 1 \pmod{11} \\ n \equiv 4 \pmod{5} \Rightarrow u_n \equiv 9 \pmod{11} \end{cases}$$

Thật vậy, trước hết ta thử thì thấy $n=2,3,4,5,6...$ đều thỏa mãn. Giả sử nhân xét này đúng đến $n=5k$ với $k \in \mathbb{N}^*$.

$\blacktriangleright$ Nếu $n=5(k+1)$ thì ta có $$u_{5(k+1)}=7u_{5k+4}-12u_{5k+3}+2 \cdot 5^{5k+3}$$

Ta tiếp tục có $u_{5k+4}=7u_{5k+3}-12u_{5k+2}+2 \cdot 5^{5k+2}$ nên $$\begin{aligned} u_{5(k+1)} & = 37u_{5k+3}-84u_{5k+2}+14 \cdot 5^{5k+2}+2 \cdot 5^{5k+3} \\ & \equiv 4u_{5k+3}-7u_{5k+2}+6 \pmod{11} \end{aligned}$$

Ta tiếp tục có $u_{5k+3}=7u_{5k+2}-12u_{5k+1}+2 \cdot 5^{5k+1}$ nên $$u_{5(k+1)} \equiv 10u_{5k+2}-4u_{5k+1}+2 \pmod{11}$$

Và $u_{5k+2} =7u_{5k+1}-12u_{5k}+2 \cdot 5^{5k}$ nên $$u_{5(k+1)} \equiv -10u_{5k} \equiv 4 \pmod{11}$$

Hoàn toàn tương tự với các trường hợp còn lại của $n$.

Nhận thấy $2013 \equiv 3 \pmod{5}$ nên $u_{2013} \equiv \boxed{1} \pmod{11}$. $\blacksquare$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
hieuvipntp

hieuvipntp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút

Bài 1:(4 điểm)

1.Giải phương trình: $\tan 2x+\sin 2x=\frac{3}{2}\cot x$

2.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}-\sin(5y-x)=3y-3x+1\\3^{5y-x}-\sin(x+y)=-x-y+1 \end{matrix}\right.$

Bài 2:(4 điểm)

1.Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+2y+3z=2013$

2.Cho $11$ số nguyên dương có tổng là $2013$.Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra trong chúng hai số $x,y$ sao cho $1 \leq \frac{x}{y}<2$.

Bài 3:(4 điểm)

1.Cho đoạn thẳng $AB$.Trên tia đối tia $AB$ lấy điểm $M$, dựng hai tam giác đều $AMD$;$BME$ nằm về hai phía so với đường thẳng $AB$.$I$ là trung điểm $DE$.Khi M di động tìm vị trí của $M$ để độ dài $AI$ ngắn nhất.

2.Cho tứ diện $ABCD$.Trên các tia đối các tia $BA$,$CA$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BM=2CN=3DP$.Tìm tập hợp trọng tâm tam giác $MNP$.

Bài 4:(4 điểm)

1.Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$f(x;y)=(e^x-ey+2)^2+(x-y)^2$

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

2.Xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+y)+2y^2+2xy+2y=f(x)-f(y)$

bài 2b

không biết có đúng không 

giả sử tồn tại x,y sao cho $\frac{x}{y}\geq 2$

theo tính sắp tt tốt,luôn có phần tử nhỏ nhất trong 11 số này,gọi nó là $a\epsilon \mathbb{N}*$

ta luôn có $2^{0}a+2^{1}a+...+2^{9}a+2^{10}a=2013$

Nhưng $2^{0}+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{9}+2^{10}> 2013$ hay $a< 1$ (trái giả thiết)

Xét với $1\leq \frac{x}{y}$ thì hiển nhiên đúng

vậy luôn chọn được 2 số $x,y$ sao cho $1\leq \frac{x}{y}< 2$



#6
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút

 

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

:luoi: chém tí 

Xét phương trình đặc trưng : $\lambda ^2-7\lambda +12=0\Leftrightarrow \lambda =3\vee \lambda =4$

Do đó ta có nghiệm riêng của phương trình là $u_{n}^{*}=\frac{2.5^n}{25-7.5+12}=\frac{2.5^n}{2}=5^n\Rightarrow$ số hạng tổng quát của dãy là :

$u_{n}=\alpha. 3^n+\beta .4^n+5^n$

Từ $u_{0}=4;u_{1}=15$$\Rightarrow x_{n}=2.3^n+4^n+5^n$

Do đó $u_{2013}=2.3^{2013}+4^{2013}+5^{2013}\equiv 1 mod 11$

:luoi:  :luoi: 


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#7
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Bài phương trình hàm giải thế này không biết ổn không :D

 

  • Cho $y=0$, suy ra $f(0)=0$.
  • Cho $x=0$, suy ra $f(y)=-y^2-y$ hay $f(x)=-x^2-x$, thử vào ... thấy đúng.

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=-x^2-x$.


ĐCG !

#8
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

2.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}-\sin(5y-x)=3y-3x+1\\3^{5y-x}-\sin(x+y)=-x-y+1 \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra: 

 

$3^{x+y}-3^{5y-x}-\sin(5y-x)+\sin(x+y)=4y-2x$

 

$\Leftrightarrow 3^{x+y}+x+y+\sin(x+y)=3^{5y-x}+\sin(5y-x)+5y-x$ (*)

 

Xét hàm số : $f(t)=3^t+t+\sin t$  có  $f'(t)=3^t.\ln 3+1+\cos t>0,\forall t\in \mathbb{R}$

 

$\Rightarrow  f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

 

$(*)\Leftrightarrow x+y=5y-x\Leftrightarrow x=2y$

 

Thay vào pt (2) : $(2)\Leftrightarrow g(3y)=3^{3y}-\sin3y+3y-1=0$

 

Vì $g'(y)=3^y.\ln 3-\cos y+1>0 ,\forall y\in \mathbb{R}$ và $g(0)=0$

 

$\Rightarrow x=y=0$ là nghiệm duy nhất của hệ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh