ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút
Bài 1:(4 điểm)
1.Giải phương trình: $\tan 2x+\sin 2x=\frac{3}{2}\cot x$
2.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}-\sin(5y-x)=3y-3x+1\\3^{5y-x}-\sin(x+y)=-x-y+1 \end{matrix}\right.$
Bài 2:(4 điểm)
1.Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+2y+3z=2013$
2.Cho $11$ số nguyên dương có tổng là $2013$.Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra trong chúng hai số $x,y$ sao cho $1 \leq \frac{x}{y}<2$.
Bài 3:(4 điểm)
1.Cho đoạn thẳng $AB$.Trên tia đối tia $AB$ lấy điểm $M$, dựng hai tam giác đều $AMD$;$BME$ nằm về hai phía so với đường thẳng $AB$.$I$ là trung điểm $DE$.Khi M di động tìm vị trí của $M$ để độ dài $AI$ ngắn nhất.
2.Cho tứ diện $ABCD$.Trên các tia đối các tia $BA$,$CA$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BM=2CN=3DP$.Tìm tập hợp trọng tâm tam giác $MNP$.
Bài 4:(4 điểm)
1.Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$f(x;y)=(e^x-ey+2)^2+(x-y)^2$
Bài 5:(4 điểm)
1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$
Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.
2.Xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x+y)+2y^2+2xy+2y=f(x)-f(y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 24-09-2013 - 18:01