1 reply to this topic

[beontop97]

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} xy^4+y^3+y^2+5x=y^5+xy^2+y\left ( x+5 \right ) & \\ \sqrt{2y^2-6x+8} +2\leq \sqrt{x}+2013x-2012y& \end{matrix}\right.$

 

Edited by beontop97, 24-09-2013 - 19:22.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải 

ĐK: $x \geq 0$ và $y^2 \geq 3x - 4$

Phương trình (1) tương đương:

$(xy^4 - y^5) + (y^3 - xy^2) + (y^2 - xy) + 5(x - y) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)(y^4 - y^2 - y + 5) = 0$

 

Do $ y^4 - y^2 - y + 5 = (y^2 - 1)^2 + \left (y - \dfrac{1}{2}\right )^2 + \dfrac{15}{4} > 0$

Vì vậy, ta có: $x = y$

Thế vào (2), ta được:
$\sqrt{2x^2 - 6x + 8} + 2 \leq \sqrt{x} + x$

 

Vì x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình nên chia hai cho $\sqrt{x}$, ta được:

$\sqrt{2\left (x + \dfrac{4}{x}\right ) - 6} \leq \sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} + 1$

Đặt $t = \sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} \Rightarrow x + \dfrac{4}{x} = t^2 + 4$

Khi đó, bất phương trình trở thành: $\sqrt{2t^2 + 2} \leq t + 1$

Giải ra được t = 1. Từ đó suy ra x và y