Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
muamuaha125

muamuaha125

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x.y.z=1. 

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 



#2
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

có $\sum \frac{1}{x^{3}(y+z)} = \sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)}$; và  $\frac{yz}{x^{2}(y+z)} + \frac{y+z}{4yz} \geq \frac{1}{x}$
tương đương với $\frac{yz}{x^{2}(y+z)} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \geq \frac{1}{x}$
tương tự, ta thu được : $\sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}$
dấu "=" khi x=y=z=1



#3
thaoteen21

thaoteen21

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết


Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x.y.z=1. 

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

xyz=1 $\Rightarrow$  x=$\dfrac{1}{zy}$ ; y=$\dfrac{1}{xz}$ ; z=$\dfrac{1}{xy}$

 

P= $\frac{z^{2}.y^{2}}{x(z+y)}$+ $\frac{x^{2}.z^{2}}{y(x+z)}$+ $\frac{x^{2}.y^{2}}{z(x+y)}$
$\geq $  $\frac{(xy+yz+xz)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$= $\frac{xy+yz+xz}{2}$ (BĐT BCS)

$\geq$  $\frac{3.\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{2}$

= $\frac{3}{2}$

 

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaoteen21: 26-09-2013 - 11:44

 TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN  $\sqrt[3]{MF}$ !!!
$\angle 0\nu \varepsilon - \tau\Theta \Lambda \eta$

#4
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết


Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x.y.z=1. 

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

Áp dụng BĐT AM-GM:

Ta có : $\frac{1}{x^3(y+z)}=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{y+z}{4}+\frac{x}{2}-\left ( \frac{y+z}{4}+\frac{1}{2} \right )\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(y+z)}.\frac{y+z}{4}.\frac{x}{2}}-\frac{y+z+2}{4}=\frac{3}{2}x-\frac{2+y+z}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{2(x+y+z)+6}{4}=x+y+z-\frac{3}{2}\geq 3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

P/s: Đã sửa sr m.n  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 26-09-2013 - 21:49

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5
Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết


Áp dụng BĐT AM-GM:

Ta có : $\frac{1}{x^3(y+z)}=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{y+z}{4}+\frac{x}{2}-\left ( \frac{y+z}{4}+\frac{x}{2} \right )\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(y+z)}.\frac{y+z}{4}.\frac{x}{2}}-\frac{y+z+2x}{4}=\frac{3}{2}x-\frac{2x+y+z}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \frac{3}{2}\sum x-\frac{4(x+y+z)}{4}=\frac{1}{2}(x+y+z)\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}$

Chỗ nào không biết có vấn đề gì không nữa??

$3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3(y+z)}.\dfrac{y+z}{4}.\dfrac{x}{2}} = \dfrac{3}{2}x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 26-09-2013 - 20:45

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#6
muamuaha125

muamuaha125

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Chỗ nào không biết có vấn đề gì không nữa??
$3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3(y+z)}.\dfrac{y+z}{4}.\dfrac{x}{2}} = \dfrac{3}{2}x$

minh thay ban ay lam dung roi nhung ban chep lai co van de thi phai. Ban xem lai thu coi?

#7
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x.y.z=1. 

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

C2: ÁP dụng BĐT AM-GM :

Ta có : 

 $\frac{1}{x^3(y+z)}=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{x(y+z)}{4}-\frac{x(y+z)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x^3(y+z)}.\frac{x(y+z)}{4}}-\frac{xy+xz}{4}=x^2-\frac{xy+xz}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \sum x^2-\frac{xy+xz+yz}{2}$

Vì $\sum x^{2}\geq \sum xy\Rightarrow -\sum xy\geq -\sum x^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq \frac{(x+y+z)^2}{6}\geq \frac{\left ( 3\sqrt[3]{xyz} \right )^2}{6}=\frac{3}{2}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#8
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x.y.z=1. 

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

$P= \sum \frac{y^{2}z^{2}}{xy+xz}$$\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}$$= \frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyyzzx}}{2}= \frac{3}{2}$



#9
adteams

adteams

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Bài này đặt 1/x=a 1/y=b 1/z=c cũng rất đơn giản :))


                                        [Dương Tuệ Linh ]

                                                [Linh]





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh