Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình: $(x^{2}-2x+1)^{x^2+2x+1}=(x^{2}+2x+1)^{x^{2}-2x+1}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ijkm

ijkm

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Giải phương trình:

$(x^{2}-2x+1)^{x^2+2x+1}=(x^{2}+2x+1)^{x^{2}-2x+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 27-09-2013 - 02:52


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Đặt $x^2-2x+1=a,x^2+2x+1=b$ .PT $< = > a^b=b^a$$< = > a=b$ $< = > x^2-2x+1=x^2+2x+1< = > x=0$



#3
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đặt $x^2-2x+1=a,x^2+2x+1=b$ .PT $< = > a^b=b^a$$< = > a=b$ $< = > x^2-2x+1=x^2+2x+1< = > x=0$

Bạn giải thích dùm mình $a^{b}=b^{a}\Leftrightarrow a=b$

Mot vi du dien hinh $2^{4}=4^{2}\Leftrightarrow 2=4???$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 27-09-2013 - 16:07


#4
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

Giải phương trình: $(x^{2}-2x+1)^{x^2+2x+1}=(x^{2}+2x+1)^{x^{2}-2x+1}.\quad (1)$

 


Đặt $x^2-2x+1=a,x^2+2x+1=b$ .PT $< = > a^b=b^a$$< = > a=b$ $< = > x^2-2x+1=x^2+2x+1< = > x=0$

 

Không phải lúc nào $a^b=b^a\Leftrightarrow a=b$ cũng đúng đâu. Chẳng hạn $2^4=4^2$ nhưng $2<4$.

Mình giải như sau :

NX: $x=\pm1$ không là nghiệm của pt nên $(x-1)^2>0\ ;\ (x+1)^2>0$.

Xét hàm số $f(t)=\frac{\ln t}{t}$ trên $D=(0;\infty)$, có  $f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}$, $f'(t)=0\Leftrightarrow t=e$

Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trong $D_1=(0; e)$ và nghịch biến trong $D_2=(e;+\infty)$, và $f(t)\le f(e)=\frac{1}{e}\ \forall t\in D$ , $\lim_{t\to 0}f(t)=-\infty$ , $\lim_{t\to +\infty}f(t)=0$ (Dùng qui tắc L'Hospital).

Suy ra trong D, đồ thị của (C) : $y=f(t)$ cắt đường thẳng (d) : $y=m$ tại tối đa 2 điểm.

Tức là pt (2) : $f(t)=m$ có tối đa 2 nghiệm.

  • Nếu $m<\frac{1}{e}$ thì pt (2) VN.
  • Nếu $m=\frac{1}{e}$ thì pt (2) có duy nhất 1 nghiệm là $t=e$.
  • Nếu $m>\frac{1}{e}$ thì pt (2) có 2 nghiệm là $t_1\in D_1$ và $t_2\in D_2$, thoả $t_1<t_2,\ f(t_1)=f(t_2)=m$.

Giả sử $pt (1)$ có nghiệm là $x_0\ne\pm1$. Khi đó ta có :

$\frac{\ln[(x_0-1)^2]}{(x_0-1)^2}=\frac{\ln[(x_0+1)^2]}{(x_0+1)^2}\Leftrightarrow f[(x_0-1)^2]=f[(x_0+1)^2]$ (**)

 

Vậy tóm lại pt chỉ có duy nhất 1 nghiệm là $x=0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 28-09-2013 - 13:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh