Cho x,y,z>0 thoả mãn xyz=1 Chứng minh:
$\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\frac{1}{y^{2}+2z^{2}+3}+\frac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nolunne: 29-09-2013 - 11:11
Cho x,y,z>0 thoả mãn xyz=1 Chứng minh:
$\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\frac{1}{y^{2}+2z^{2}+3}+\frac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nolunne: 29-09-2013 - 11:11
Theo bđt cosi ta có :$\sum \frac{1}{x^2+2y^2+3}=\sum \frac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2xy+2y+2}=\frac{1}{2}.\sum \frac{1}{xy+y+1}$(1)
Mặt khác do xyz=1 nên $\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{xz+x+1}=\frac{z}{xyz+yz+z}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{xyz}{xz+z+xyz}=\frac{z}{1+yz+z}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{yz}{yz+z+1}=\frac{yz+z+1}{yz+z+1}=1$(2)
Từ (1) và (2) $= > A\leq \frac{1}{2}$
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh