Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG lớp 10 ( Đợt 1 ) trường PTTH Chuyên KHTN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 minhtu98vn

minhtu98vn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên khoa học tự nhiên
  • Sở thích:Đọc sách

Đã gửi 29-09-2013 - 14:40

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho 

$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$

 

Câu II

1) Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^{3}=3x-y+6\\ y^{3}=12y+3x+10 \end{matrix}\right.$

 

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Câu III. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H, các điểm D,E,F lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm CA, AB. Gọi DE cắt đường thẳng qua A vuông góc AB tại K. Gọi KN giao BC tại S

a) Chứng minh rằng $AS\perp AC$.

b) Gọi DF cắt đường thẳng qua A vuông góc AC tại L. Chứng minh rằng LM,NK,AD đồng quy.

c, Gọi KL cắt EF tại P. Chứng minh rằng AP || BC.

 

Câu IV. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta đánh dấu điểm (1,1). Ta đánh dấu thêm các điểm khác theo qy tắc sau:

i) Nếu điểm (a,b) đã được đánh dấu, ta đánh dấu thêm các điểm (2a,b) và (2b,a);

ii) Nếu điểm (a,b) đã được đánh dấu, ta đánh dấu thêm điểm (a-b,b) nếu a>b hoặc (b,b-a) nếu a<b.

Với điều kiện nào của x,y thì điểm (x,y) được đánh dấu ?

 

Chỗ nào thấy mình đánh sai các bạn xem lại trong ảnh nhé .

Hình gửi kèm

  • 20130929_143811.jpg


#2 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-09-2013 - 16:18

Câu V. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta đánh dấu điểm (1,1). Ta đánh dấu thêm các điểm khác theo qy tắc sau:

i) Nếu điểm (a,b) đã được đánh dấu, ta đánh dấu thêm các điểm (2a,b) và (2b,a);

ii) Nếu điểm (a,b) đã được đánh dấu, ta đánh dấu thêm điểm (a-b,b) nếu a>b hoặc (b,b-a) nếu a<b.

Với điều kiện nào của x,y thì điểm (x,y) được đánh dấu ?

Bài này điều kiện là $\left ( x,y \right )=2^s$, với $s \in \mathbb{N}$

Cách giải có thể tham khảo tại: http://diendantoanho...-left-xy-right/

 

Em nghĩ bài này không cần phải làm vậy đâu anh  :)

Ta xét các TH sau:

TH1:Thực hiện giải pháp $\left ( a \right )$

Khi đó $\left ( x,y \right )$ sẽ tăng thêm 2 lần hoặc không đổi

TH2:Thực hiện giải pháp $\left ( b \right )$

Khi đó $\left ( x,y \right )$ sẽ không đổi

Vậy sau mỗi bước di chuyển sỏi thì $\left ( x,y \right )$ gấp đôi hoặc không đổi

Mà ban đầu $\left ( x,y \right )=1$

Suy ra đk để hòn sỏi có thể đến điểm $\left ( x,y \right )$ là $\left ( x,y \right )=2^s$ với s là số tự nhiên

 


#3 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-09-2013 - 16:34

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

Ta có: $7^{20}\equiv 1\left ( mod 25 \right )$

$\Rightarrow 7^{20}\equiv 1\left ( mod 5 \right )$

Lại có $2^{70}= 4^{35}\equiv -1\left ( mod 5 \right )$

Suy ra $7^{20}+2^{70} \vdots 5$

Ta có đpcm



#4 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 29-09-2013 - 16:39

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho 

$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$

 

 

:luoi:  :luoi: chém ngay bài đầu 

a) 

Ta có : $7^{20}+2^{70}=49^{10}+128^{10}\equiv (-1)^{10}+(-2)^{10}\equiv 0mod5$

b)

$xy-1\vdots z ;zy-1\vdots x ;xy-1\vdots z$$\Rightarrow (xy-1)(yz-1)(zx-1)\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\geq xyz$

Dễ dàng chứng minh $xy+yz+zx-1<3xyz$

Do đó :

$1\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{xyz}<3$

Từ đó dễ dàng tìm được  :luoi:  :luoi: 


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#5 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-09-2013 - 16:50

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta có: $\sum \frac{5a^2-ab^2}{a+b}=\sum \left ( \frac{a^2-ab^2}{a+b}+\frac{4a^3}{a+b} \right )=\sum \left ( a\left ( a-b \right )+\frac{4a^3}{a+b} \right )\geq \sum \frac{4a^3}{a+b}=\sum \frac{4a^4}{a\left ( a+b \right )}\geq \frac{4\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{\sum a\left ( a+b \right )}\geq 2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 30-09-2013 - 12:08


#6 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 29-09-2013 - 16:55

 

Câu II

 

 

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

:luoi:  :luoi: Chém thêm bài BĐT

$Q.E.D\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}+\sum a^2-\sum ab\geq 2.\sum a^2\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq \sum a^2+\sum ab$

Theo Cauchy-Swarch :

$4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq 4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}$

Do đó ta cần chứng minh :

$4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \sum a^2+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab\Rightarrow Q.E.D$


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#7 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 29-09-2013 - 17:23

BDT :

Ta đi chứng minh:$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}\geq 3a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}(2a+b)}{a+b}\geq 0$(luôn đúng)

Tương tự với b,c sau đó cộng lại có dpcm



#8 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 29-09-2013 - 17:32

Câu hệ phương trình:$(x-2)(x+1)^{2}=4-y$ (1)

$(y-4)(y+2)^{2}=3(x-2)$ (2)

Nếu $x> 2$ thì (1)$\Leftrightarrow$ $y< 4$ nhưng (2)$\Leftrightarrow y> 4$(mâu thuẫn)

Nếu $x< 2$ thì (1)$y> 4$ nhưng (2)$\Leftrightarrow y< 4$ (mâu thuẫn)

Nếu $x=2$ thì $y=4$ (thoả mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là(2;4)



#9 Monkeydluffy2k1

Monkeydluffy2k1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BÍ MẬT
  • Sở thích:TOÁN;HOT GIRL;lý; HÓA

Đã gửi 11-11-2016 - 09:41

BDT :

Ta đi chứng minh:$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}\geq 3a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}(2a+b)}{a+b}\geq 0$(luôn đúng)

Tương tự với b,c sau đó cộng lại có dpcm

làm sao để tìm ra đc cái ý



#10 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 13-01-2017 - 23:42

a,  Gọi $T$ là giao điểm của đường vuông góc kẻ từ $A$ với $AC$ và đường tròn đường kính $AB$.

Áp dụng  $Pascal$ cho $6$ điểm $AEBDAT$ ta có điều phải chứng minh

b, Gọi $X$ là giao điểm của $LM$ và $BC.$

Dùng $ceva sin$ cho sự đồng quy của $SK,DK,AK$ và $XL,AL,DL.$ Từ đó dùng $ceva sin$ trong tam giác $ALS$ để chứng minh $XL,SK,ED $ đồng quy

c, Gọi $Y$ là giao điểm của đường vuông góc với$ AD $ kẻ từ $ A$ và$ EF$. Ta chứng minh $Y$ trùng $P$ bằng cách chứng minh $Y,L,K$ thẳng hàng

Thật vậy $\frac{YE}{YF}. \frac{LF}{LD}. \frac{KD}{KE}=\frac{AE^2}{AF^2}.\frac{AD^2}{AE^2}.\frac{AF^2}{AD^2}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-01-2017 - 23:44

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh