Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{a^{2}+b+3}+\frac{b}{b^{2}+c+3}+\frac{c}{c^{2}+a+3}\leq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nolunne

nolunne

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Cho a,b,c thoả a+b+c=3.C/m:

$\frac{a}{a^{2}+b+3}+\frac{b}{b^{2}+c+3}+\frac{c}{c^{2}+a+3}\leq \frac{1}{2}$



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Đề bài phải là $a^2+b^2+c^2=3.CM:\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Theo bdt cosi ta có :$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}=\sum \frac{a}{(a^2+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\sum \frac{1}{2}.\frac{a}{a+b+1}$

Do đó ta chỉ cần CM bđt :$\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1< = > \sum (1-\frac{a}{a+b+1})\geq 2< = > \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Theo bdt Bunhia ta có:$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}$

Do $a^2+b^2+c^2=3= > \sum (b+1)(a+b+1)=3(a+b+c)+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2+3=\frac{1}{2}.(a+b+c+3)^2$(2)

Từ (1) và (2) $= > \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}.(a+b+c+3)^2}=2$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 30-09-2013 - 17:12


#3
nolunne

nolunne

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Đề bài phải là $a^2+b^2+c^2=3.CM:\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Theo bdt cosi ta có :$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}=\sum \frac{a}{(a^2+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\sum \frac{1}{2}.\frac{a}{a+b+1}$

Do đó ta chỉ cần CM bđt :$\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1< = > \sum (1-\frac{a}{a+b+1})\geq 2< = > \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Theo bdt Bunhia ta có:$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}$

Do $a^2+b^2+c^2=3= > \sum (b+1)(a+b+1)=3(a+b+c)+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2+3=\frac{1}{2}.(a+b+c+3)^2$(2)

Từ (1) và (2) $= > \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}.(a+b+c+3)^2}=2$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

a+b+c=3 thì có chứng minh đc ko bạn?



#4
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

không được đâu



#5
nolunne

nolunne

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

không được đâu

uk dù sao cũng like bài giải của bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh