Ta có $xy$ là tích nên ta dùng công thức tích để làm:
$$\frac{d}{dx}(xy)=xy'+y$$
Ta đã nghiên cứu về vi phân hàm ẩn ở bài trước:
$$\frac{d}{dx}y^{2}=2y \frac{dy}{dx}$$
Ta có thể viết lại là:
$$\frac{d}{dx}y^{2}=2y y'$$
Ráp lại và ta đã có đạo hàm bậc 1 của phương trình:
$$xy'+y+2yy'=0$$
(Ở đây tôi sử dụng $y'$ thay cho $\frac{dy}{dx}$ để thuận tiện hơn trong việc đọc và viết)
Tôi đã sử dụng công thức tích (cho tích $xy$) và công thức chuỗi cho $y^{2}$
Đạo hàm cấp 2:
$$(xy''+y')+(y')+[2yy''+y'(2y')]=0$$
Đơn giản hóa, ta được:
$$(x+2y)y''+2y'+2(y')^{2}=0$$
Ta có thể giải theo $y''$
$$y''=\frac{-2y'-2(y')^{2}}{x+2y}$$
Video
Đây là một đoạn phim nhỏ cho ta góc nhìn khác về ví dụ này, trong phim sử dụng:
- Ký hiệu $\frac{dy}{dx}$
- Một cách tiếp cận khác với vấn đề (trong đoạn phim ta sẽ tìm biểu thức cho $\frac{dy}{dx}$ trước, sau đó vi phân để tìm ra đạo hàm bậc hai). Kết quả sẽ cho ta một phương trình đạo hàm cấp 2 đơn giản hơn.
Câu trả lời khá khác, nhưng giá trị thì như nhau
b. Tìm giá trị đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn ở phần a với $x=2$ và $y>0$
Trả lời
Spoiler
Ta cần tìm $y$ với $x=2$
Thay vào phương trình, ta được:
$$2y+y^{2}=4$$
Giải phương trình bậc hai này, kết hợp điều kiện $y>0$, ta được:
$$y=-1+\sqrt{5}$$
Ta cũng cần tìm giá trị $\frac{dy}{dx}$ khi $x=2$
Ta đã tìm phương trình đạo hàm đầu tiên là:
$$x\frac{dy}{dx}+y+2y\frac{dy}{dx}=0$$
Giải theo $\frac{dy}{dx}$, ta được:
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{x+2y}$$
Thay $x=2,y=-1+\sqrt{5}$ ta được kết quả (xấp xỉ):
$$y'=\frac{dy}{dx}\approx -0,276$$
Tiếp tục thay vào phương trình đạo hàm bậc hai đã tìm ở phần $(a)$ để tìm ra câu trả lời:
$$y'=\frac{-2y'-2(y')^{2}}{x+2y}\approx 0,0894$$
Video
Đây là đoạn phim của bài toán này, dạng của đạo hàm cấp 2 ở đây thì khác với dạng trong cách giải trên nhưng cũng tương đối chính xác.
