Ta đã nghiên cứu về các hàm chỉ duy nhất 1 biến số. Tuy nhiên, nhiều phương trình trong toán học xuất hiện $2$ hay nhiều biến. Trong bài này ta sẽ nghiên cứu cách tính đạo hàm của hàm số có nhiều hơn $1$ ẩn.
Bài viết này có liên quan nhưng không giống với 1 bài viết ta đã gặp trước đó là vi phân hàm ẩn.
Ví dụ 1: Hàm số có $2$ biến
Đây là hàm số có $2$ biến số là $x$ và $y$:
$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$
Để vẽ đồ thị hàm số này ta cần đến tọa độ không gian $Oxyz$
I. Vi phân riêng theo $x$
"Đạo hàm riêng theo $x$" có nghĩa "Xem tất cả các ký tự như hằng số và chỉ vi phân phần có $x$"
Ở ví dụ trên (cũng như những phương trình có chứa $2$ biến) thì đạo hàm riêng liên quan đến $x$ có nghĩa là (cũng như trong thực tế) ta có thể xoay đồ thị và nhìn từ trục $y$. Ta đang nhìn vào mặt phẳng $x-z$
Ta thấy rằng đường cong hàm $\sin $ di chuyển theo trục $x$, điều này xuất phát từ $6\sin x$ ở trong phương trình.
$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$
Phần $y$ ta có thể xem như là hằng số (trong trường hợp này có thể xem là $0$)
Bây giờ ta đạo hàm riêng của:
$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$
tính theo $x$
$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$
Đạo hàm của $6\sin x$ là $6\cos x$, còn đạo hàm của $y$ là $0$ do $y$ được xem như là hằng số.
Cần lưu ý rằng ta dùng ký hiệu $\delta$ biểu hiện cho "vi phân riêng" trong khi $d$ dùng để ký hiệu cho phép vi phân thông thường.
II. Vi phân riêng theo $y$:
Thuật ngữ:" Vi phân riêng theo $y$" nghĩa là :" Giả sử tất cả các ký tự là hằng số ngoại trừ $y$ để vi phân"
Như ta đã làm ở phần trên, ta xoay đồ thị và nhìn theo trục $x$, vì vậy ta thấy mặt phẳng $y-z$.
Ta thấy một hình parabola, điều này xảy ra do số hạng $y^{2}$ và $y$ trong $F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$, còn $6\sin x$ bây giờ được xem như là hằng số
Bây giờ để đạo hàm riêng của:
$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$
theo $y$
$$\frac{\delta F}{\delta y}=1+10y$$
Đạo hàm của phần tử có $y$ là $1+10y$. Đạo hàm của $6\sin x$ là $0$ vì phần tử này được xem như là hằng số khi ta vi phân theo $y$
III. Đạo hàm riêng bậc $2$
Ta có thể tìm $4$ đạo hàm riêng bậc $2$ khác nhau. Hãy xem qua những ví dụ sau:
Ví dụ 2: Với phương trình
$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$
Hãy xác định:
$(a)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta y\delta x}$$
Trả lời
$(b)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta x\delta y}$$
Trả lời
$(c)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta x^{2}}$$
Trả lời
$(d)$ $$\frac{\delta^{2} F}{\delta y^{2}}$$
Trả lời
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Đạo hàm cấp cao
Bài tiếp: Ứng dụng vi phân - Tổng quan