Cho $x+y>0$. Cmr : $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2\geq 2$
CMR :$x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2\geq 2$
Bắt đầu bởi Trang Luong, 02-10-2013 - 11:39
#1
Đã gửi 02-10-2013 - 11:39
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
- Zaraki, dinhminhha, Vu Thuy Linh và 1 người khác yêu thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#2
Đã gửi 02-10-2013 - 12:04
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $x+y>0$. Cmr : $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2\geq 2$
Lời giải. Đặt $\frac{xy+1}{x+y}=-z$ thì $xy+yz+zx=-1$. Ta có $VT= x^2+y^2+z^2 \ge 2|xy+yz+zx| =2$.
- nguyentrungphuc26041999 và Phuong Thu Quoc thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 02-10-2013 - 19:43
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
Lời giải. Đặt $\frac{xy+1}{x+y}=-z$ thì $xy+yz+zx=-1$. Ta có $VT= x^2+y^2+z^2 \ge 2|xy+yz+zx| =2$.
Mình xin post 1 cách của mình k biết đúng ko nữa 
Nhưng mình vẫn chưa tìm đc dấu =.Mong Jinbe tìm hộ mình
Ta có
$x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2=\left ( x+y \right )^2-2xy+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2\geq 2\sqrt{\left ( x+y \right )^2.\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2}-2xy=2\left ( xy+1 \right )-2xy=2$
Áp dụng BĐT AM-GM
Dấu = xảy ra khi $ab+1=(a+b)^2$ ?? Tìm dấu = hộ mình cái
- Zaraki, dinhminhha, nguyentrungphuc26041999 và 3 người khác yêu thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#4
Đã gửi 25-04-2021 - 14:33
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Chú ý: Bài này đúng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn a khác b.
$VT-VP=\frac{(a^2+ab+b^2-1)^2}{(a+b)^2}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a^2+ab+b^2=1$.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
