Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\frac{x^3}{x^2+y^2} \geq \frac{x+y+z}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \geq \frac{x+y+z}{2}$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

$\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}= \sum \frac{x^2}{\frac{1}{x}(x^2+y^2)}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x+\frac{y^2}{x}}\geq \frac{(\sum x)^2}{2\sum x}=\frac{\sum a}{2}$



#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \geq \frac{x+y+z}{2}$$

Lời giải. Bài này ta dùng AM-GM ngược dấu. Ta có $$\frac{x^3}{x^2+y^2}=x- \frac{xy^2}{x^2+y^2} \ge x- \frac{xy^2}{2xy}= x- \frac y2$$

Chứng minh tương tự rồi cộng lại thì ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \geq \frac{x+y+z}{2}$$

dùng cauchy ngược dấu không đánh giá được cái bất đẳng thức cùng dạng ,tuy nhiên cách biến đổi dài dòng quá

bất đẳng thức $\sum \frac{a^{k+1}}{a^{k}+b^{k}}\geq \frac{a+b+c}{2}$ đúng với $k=2,3,2+\sqrt{3}$ rồi lung tung nữa



#5
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Ý của bạn là quy nạp à?



#6
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết


Ý của bạn là quy nạp à?

không,có phải lúc nào cũng đúng đâu,1 số trường hợp không được.

tất nhiên không phải qui nạp. bài này có trong quyển gì ấy,không nhớ rõ nhưng dài

bài của bạn sai đoạn cuối


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 03-10-2013 - 23:10


#7
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

$\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}= \sum \frac{x^2}{\frac{1}{x}(x^2+y^2)}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x+\frac{y^2}{x}}\geq \frac{(\sum x)^2}{2\sum x}=\frac{\sum a}{2}$

Lời giải bạn ngược dấu rồi.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#8
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

$\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}= \sum \frac{x^2}{\frac{1}{x}(x^2+y^2)}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x+\frac{y^2}{x}}\geq \frac{(\sum x)^2}{2\sum x}=\frac{\sum a}{2}$

 

 

Lời giải bạn ngược dấu rồi.

À thấy rồi, mình làm sai mất cái dấu ở mẫu.

Cám ơn vì đã chỉ ra lỗi sai nhé!



#9
leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết

Em làm cách này không biết đúng hay sai mọi người xem giùm em với.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\leq y\leq z\Rightarrow x^{2}\leq y^{2}\leq z^{2}$

Áp dụng BĐT trê bư sép, ta có:

$\frac{1}{2}\left ( x^{3}+y^{3} \right )\geq \frac{1}{4}\left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$\Leftrightarrow \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( x+y \right )$

Chứng minh tương tự, sau đó cộng vế theo vế, ta được:

$2\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq x+y+z$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z

 



#10
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \geq \frac{x+y+z}{2}$$

Ta có: $\frac{x^3}{x^2+y^2}-\frac{2x-y}{2}=\frac{y(x-y)^2}{2(x^2+y^2)}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh