Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy
$A_iB_i$ đồng quy
#1
Đã gửi 04-10-2013 - 19:17
#2
Đã gửi 09-04-2018 - 23:39
Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy
Sửa lại cái đề cho chuẩn :
Cho đường tròn $(O)$ và các điểm $A_1,A_2,...,A_n$ thuộc $(O)$. Gọi $S$ là một điểm thuộc $(O)$ khác $A_i(i=1,2,...,n)$. Xét phép quay tâm $S$ (khác phép đồng nhất) biến $A_i$ thành $B_i$. Chứng minh các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy
Gọi $\alpha$ là góc quay của phép quay đang xét. Để thuận tiện, ta chọn $\alpha$ sao cho $0< |\alpha |\leqslant \pi$. Có $2$ trường hợp :
1) $|\alpha |=\pi$ :
Khi đó, phép quay trở thành phép đối xứng tâm $S\Rightarrow$ các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy tại $S$
2) $0< |\alpha | < \pi$ :
Gọi $I$ là ảnh của $O$ trong phép quay đang xét, tức là $Q_{(S,\alpha )}(O)=I$
Suy ra ảnh của đường tròn $(O)$ trong phép quay đang xét là đường tròn $(I)$ cùng bán kính với $(O)$
Vì $0< |\alpha | < \pi$ nên $(O)$ và $(I)$ có 2 điểm chung : một điểm là $S$, điểm kia ta gọi là $T$. Đến đây lại có 3 trường hợp nhỏ :
a) Điểm $A_i$ thuộc cung lớn $ST$ (không tính 2 điểm mút) của đường tròn $(O)$ : Ta nhận xét :
-Tia $SA_i$ phải quay theo chiều của phép quay đang xét một góc nhỏ nhất là $|\alpha |$ để đến trùng với tia $SB_i$
-Tia $SA_i$ phải quay theo chiều của phép quay đang xét một góc nhỏ nhất là $\beta$ để đến trùng với tia $ST$ ($0< \beta < \pi$ vì $ST$ không phải là tiếp tuyến)
-Vì $|\alpha |$ và $\beta$ đều thuộc $(0;\pi)$ nên suy ra $B_i$ và $T$ cùng phía đối với đường thẳng $SA_i$ (1)
- $\measuredangle SA_iB_i=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (2)
- Gọi $SA_0$ là 1 đường kính của $(O)$, ta có $\measuredangle SA_iT=\measuredangle SA_0T=\frac{\pi}{2}-\frac{|\alpha |}{2}=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow$ các tia $A_iB_i$ và $A_iT$ trùng nhau $\Rightarrow$ đường thẳng $A_iB_i$ đi qua $T$
b) Điểm $A_i$ trùng với $T$ : Khi đó hiển nhiên đường thẳng $A_iB_i$ đi qua $T$
c) Điểm $A_i$ thuộc cung nhỏ $ST$ (không tính 2 điểm mút) của đường tròn $(O)$ :
- Lập luận tương tự, ta chứng minh được $B_i$ và $T$ khác phía đối với đường thẳng $SA_i$ (4)
- $\measuredangle SA_iB_i=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (5)
- $\measuredangle SA_iT=\pi-\measuredangle SA_0T=\frac{\pi+|\alpha |}{2}$ (6)
(4),(5),(6) $\Rightarrow B_i,A_i,T$ thẳng hàng hay $A_iB_i$ đi qua $T$
Như vậy, trong trường hợp 1 thì các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy tại $S$, còn trường hợp 2 thì chúng đồng quy tại $T$.
- nhungvienkimcuong, DOTOANNANG và VricRaet thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh