Đến nội dung


Hình ảnh

$A_iB_i$ đồng quy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 BuiNguyenQuynhLinh

BuiNguyenQuynhLinh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐÀ LẠT
  • Sở thích:Viết văn, thơ.

Đã gửi 04-10-2013 - 19:17

Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 09-04-2018 - 23:39

Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy

Sửa lại cái đề cho chuẩn :

Cho đường tròn $(O)$ và các điểm $A_1,A_2,...,A_n$ thuộc $(O)$. Gọi $S$ là một điểm thuộc $(O)$ khác $A_i(i=1,2,...,n)$. Xét phép quay tâm $S$ (khác phép đồng nhất) biến $A_i$ thành $B_i$. Chứng minh các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy

 

Gọi $\alpha$ là góc quay của phép quay đang xét. Để thuận tiện, ta chọn $\alpha$ sao cho $0< |\alpha |\leqslant \pi$. Có $2$ trường hợp :

1) $|\alpha |=\pi$ :

    Khi đó, phép quay trở thành phép đối xứng tâm $S\Rightarrow$ các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy tại $S$

2) $0< |\alpha | < \pi$ :

    Gọi $I$ là ảnh của $O$ trong phép quay đang xét, tức là $Q_{(S,\alpha )}(O)=I$

    Suy ra ảnh của đường tròn $(O)$ trong phép quay đang xét là đường tròn $(I)$ cùng bán kính với $(O)$

    Vì $0< |\alpha | < \pi$ nên $(O)$ và $(I)$ có 2 điểm chung : một điểm là $S$, điểm kia ta gọi là $T$. Đến đây lại có 3 trường hợp nhỏ :

      a) Điểm $A_i$ thuộc cung lớn $ST$ (không tính 2 điểm mút) của đường tròn $(O)$ : Ta nhận xét :

          -Tia $SA_i$ phải quay theo chiều của phép quay đang xét một góc nhỏ nhất là $|\alpha |$ để đến trùng với tia $SB_i$

          -Tia $SA_i$ phải quay theo chiều của phép quay đang xét một góc nhỏ nhất là $\beta$ để đến trùng với tia $ST$ ($0< \beta < \pi$ vì $ST$ không phải là tiếp tuyến)

          -Vì $|\alpha |$ và $\beta$ đều thuộc $(0;\pi)$ nên suy ra $B_i$ và $T$ cùng phía đối với đường thẳng $SA_i$ (1)

          - $\measuredangle SA_iB_i=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (2)

          - Gọi $SA_0$ là 1 đường kính của $(O)$, ta có $\measuredangle SA_iT=\measuredangle SA_0T=\frac{\pi}{2}-\frac{|\alpha |}{2}=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (3)

          (1),(2),(3) $\Rightarrow$ các tia $A_iB_i$ và $A_iT$ trùng nhau $\Rightarrow$ đường thẳng $A_iB_i$ đi qua $T$

      b) Điểm $A_i$ trùng với $T$ : Khi đó hiển nhiên đường thẳng $A_iB_i$ đi qua $T$

      c) Điểm $A_i$ thuộc cung nhỏ $ST$ (không tính 2 điểm mút) của đường tròn $(O)$ :

          - Lập luận tương tự, ta chứng minh được $B_i$ và $T$ khác phía đối với đường thẳng $SA_i$ (4)

          - $\measuredangle SA_iB_i=\frac{\pi-|\alpha |}{2}$ (5)

          - $\measuredangle SA_iT=\pi-\measuredangle SA_0T=\frac{\pi+|\alpha |}{2}$ (6)

          (4),(5),(6) $\Rightarrow B_i,A_i,T$ thẳng hàng hay $A_iB_i$ đi qua $T$

 

Như vậy, trong trường hợp 1 thì các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy tại $S$, còn trường hợp 2 thì chúng đồng quy tại $T$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh