Chủ đề này có 9 trả lời

[ILoveMathverymuch]

1/ Giả sử rằng có số nguyên tố p có thể được viết thành hiệu hai lập phương của 2 số nguyên dương khác nhau .CMR:Khi đem 4p chia cho 3,nếu loại bỏ phần dư thì sẽ nhận được bình phương của 1 số nguyên lẻ.

2/Cho n $\geq$2 là 1 số nguyên .CMR: Nếu $k^{2}+k+n$ là 1 số nguyên tố với mọi số nguyên k thỏa mãn $0\leq k\leq \sqrt{\frac{n}{3}}$ thì $k^{2}+k+n$ là số nguyên tố với mọi k thỏa $0\leq k\leq n-2$.    (IMO 1987)

3/Tìm tất cả các số nguyên tố dạng $2^{1994^{n}}+17$

4/Tìm tất cả các số a,b,c thỏa $ab+bc+ca\geq abc$

5/CMR $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số với mọi $n\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMathverymuch: 04-10-2013 - 22:03

[thuan192]

5/CMR $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số với mọi $n\geq 1$

Ta cm    $2^{2^{2n+1}}+3\vdots 7$

với n=1 thì hiển nhiên đúng

giả sử n=k thì mệnh đề đúng

ta cm n=k+1 đúng

$2^{2^{2k+1+2}}=2^{2^{2k+1}.4}=16^{2^{2k+1}}\equiv 2^{2^{2k+1}}$  mod7

=> n=k+1 đúng

theo nguyên lý quy nạp suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 04-10-2013 - 22:40

[ILoveMathverymuch]

với n=1 thì hiển nhiên đúng

giả sử n=k thì mệnh đề đúng

ta cm n=k+1 đúng

$2^{2^{2k+1+2}}=2^{2^{2k+1}.4}=16^{2^{2k+1}}\equiv 2^{2^{2k+1}}$

=> n=k+1 đúng

theo nguyên lý quy nạp suy ra đpcm

cái phép đồng dư cuối cùng mình không hiểu lắm bạn.vả lại còn cái cộng 3 đâu?

[Zaraki]

3/Tìm tất cả các số nguyên tố dạng $2^{1994^{n}}+17$

4/Tìm tất cả các số a,b,c thỏa $ab+bc+ca\geq abc$

Bài 3. Với $n \ge 1$ thì $2^{1994^n} \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2^{1994^n}+17 \equiv 0 \pmod{3}$ mà $2^{1994^n}+17>3$, không thể là số nguyên tố.

Vậy $n=0$. Khi đó số nguyên tố là $19$.

Bài 4. Đã được giải trong box Số học THCS.

[thuan192]

cái phép đồng dư cuối cùng mình không hiểu lắm bạn.vả lại còn cái cộng 3 đâu?

vì$16\equiv 2 mod7 =>16^{2^{2k+1}}\equiv 2^{2^{2k+1}}mod7 =>16^{2^{2k+1}}+3\equiv 2^{2^{2k+1}}+3mod7$

 mà n=k đúng=>$2^{2^{2k+1}}+3\vdots 7$   =>$16^{2^{2k+1}}+3\vdots 7$

[ILoveMathverymuch]

Bài 3. Với $n \ge 1$ thì $2^{1994^n} \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2^{1994^n}+17 \equiv 0 \pmod{3}$ mà $2^{1994^n}+17>3$, không thể là số nguyên tố.

Vậy $n=0$. Khi đó số nguyên tố là $19$.

Bài 4. Đã được giải trong box Số học THCS.

Cho mình xin cái link với

[Zaraki]

1/ Giả sử rằng có số nguyên tố p có thể được viết thành hiệu hai lập phương của 2 số nguyên dương khác nhau .CMR:Khi đem 4p chia cho 3,nếu loại bỏ phần dư thì sẽ nhận được bình phương của 1 số nguyên lẻ.

Lời giải. Đặt $p=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Vì $p$ nguyên tố và $a-b<a^2+ab+b^2$ nên $a-b=1 \Rightarrow a=b+1$. Khi đó $p=3b^2+3b+1$.

Do đó $3(2b+1)^2<4(3b^2+3b+1)=3(2b+1)^2+1$ nên $(2b+1)^2< \dfrac{4p}{3} < (2b+1)^2+1 \Rightarrow \left \lfloor \dfrac{4p}{3} \right \rfloor = (2b+1)^2$.

Ta có điều phải chứng minh.

[StuDy AnD GloRy]

cái phép đồng dư cuối cùng mình không hiểu lắm bạn.vả lại còn cái cộng 3 đâu?

có A= $2^{2^{2n+1}}+3=4^{2^{2n}}-4+7=4(4^{2^{2n}-1}-1)+7$=$2^{2^{2n+1}}+3=4^{2^{2n}}-4+7=4(4^{2^{2n}-1}-1)+7$

Ta Có $2^{2n}-1=4^{n}-1^{n}=(4-1)(......)=3.(......)$

Đặt $2^{2n}-1=3k$

Suy ra  $4^{2^{2n}-1}-1=4^{3k}-1=2^{6k}-1=8^{2k}-1^{2k}=(8-1)(...)=7(....)\rightarrow 4^{2^{2n}-1}-1$ chia hết chơ 7 và 7 chia hết cho 7

suy ra a Ạ chia hết cho 7 -> A là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi StuDy AnD GloRy: 06-10-2013 - 16:38

[StuDy AnD GloRy]

Cho mình xin cái link với

http://diendantoanho...-1/#entry455070

nề mi

[StuDy AnD GloRy]

Ai Giúp bài ni nữa...

Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa ab=cd

CMR ....$A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số