Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}$.
$\sum\frac{a^{2}}{b}\geq \sum\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi bachhammer, 05-10-2013 - 10:05
#1
Đã gửi 05-10-2013 - 10:05
bachhammer
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
#2
Đã gửi 05-10-2013 - 10:44
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}$.
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn
$\sum \frac{a^2}{b}\geqslant \sum \sqrt{2(a^2+b^2)-3bc}\geqslant \sum \sqrt{a^2+b^2-ab}$
Tham khảo tại đây
#3
Đã gửi 09-04-2021 - 12:05
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta dễ có: $\sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}=a+b+c$
Suy ra $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}=\sum_{cyc}(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b)-(a+b+c)\geqslant \sum_{cyc}2\sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)= \sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
