Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenxuanthai]

1. Cho tập hợp $X$ có $n$ phần tử, $f$ là song ánh từ $X$ vào $X$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ để $f^{k}= \operatorname{Id}_{X}$ với $f^{k}= \underbrace{f\circ f\circ\cdots f}_{k\,{\it times}}$.
2. Cho ánh xạ $f: X\rightarrow Y$. Chứng minh rằng $f$ toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ $g: Y\rightarrow X$ sao cho $f\circ g= \operatorname{Id}_{Y}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-02-2023 - 19:01

[fghost]

$f$ là song ánh từ $X$ vào $X$, như vậy $f$ có thể được xem như một phần tử của nhóm $S_n$. Và $f^{n!}$ phải là $1$ trong $S_n$, hay $f^{n!}=Id_X$

[fghost]

Những bài này cơ bản, chỉ là diễn giải định nghĩa.

 

$'\Leftarrow'$. Nếu $y\in Y,$ thì $f(g(y))=y$. Như vậy $f$ toàn ánh.

 

$'\Rightarrow'$. Nếu $f$ toàn ánh, thì với mọi $y \in Y$ ta có $f(x_y)=y$ với $x_y$ nào đó trong $X$. Như vậy, định nghĩa $g: Y \rightarrow X$ với $g(y)=x_y.$ Rõ ràng $f\circ g= ID_Y$

[phudinhgioihan]

Cho tập hợp $X$ có $n$ phần tử, $f$ là song ánh từ $X$ vào $X$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ để $ f^k = Id_X$ với $f^k = fofo...f $ ( $k$ lần )

 

Chắc là mới học năm 1 nên làm cơ bản thôi

 

$f$ song ánh nên $f^k , k \in \mathbb{N}^*$ cũng là song ánh từ $X$ vào chính nó

 

Do $X$ hữu hạn nên số song ánh từ $X$ vào chính nó là hữu hạn (có $n!$ song ánh ), do đó $A=\{ f^k \; , k \in \mathbb{N}^* \} $ là hữu hạn nên tồn tại $m>n$ sao cho $f^m=f^n \Leftrightarrow f^{m-n}=id_X$, đây là đpcm.

[fghost]

Bài giải của mình dễ hiểu hơn chứ nhỉ?