BÀI 1
Cho tập E gồm các phần tử $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6$. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có các chữ số khác nhau lựa chọn từ E, sao cho mỗi số nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Xét tập $E'=\{0,1,2,3,4,6\}$
Xét các số dạng $\overline{abc...0}$ có $(k+1)$ chữ số khác nhau thuộc $E';\;(0\le k\le 5)$
Vì số $0$ đã đứng cuối nên có $k!C_5^k$ cách chọn các chữ số đầu.
Có $(k+1)$ cách chèn thêm vị trí chữ số $5$
Tổng cộng dạng này có: $\sum_{k=0}^5 (k+1)!C_5^k=1631$ số thỏa mãn đề
Xét các số dạng $\overline{abc...x}$ có $(k+1)$ chữ số khác nhau thuộc $E';\;(1\le k\le 5)$ với $x\ne 0$
Có $3$ cách chọn $x$
Có $4$ cách chọn $a$ (khác $x$, khác $0$)
Và $(k-1)!C_4^{k-1}$ cách chọn $(k-1)$ chữ số còn lại
Chọn xong lại có $(k+1)$ cách chèn vị trí chữ số $5$
Tổng cộng dạng này có: $\sum_{k=1}^5 3.4.(k-1)!C_4^{k-1}=780$
Cuối cùng là các số chẵn có $1$ chữ số khác $0$ thì có $3$ số, với duy nhất một cách chèn chữ số $5$ vào hàng chục
Kết quả: số các số chẵn có các chữ số khác nhau lựa chọn từ $E$, mỗi số nhất thiết có mặt chữ số $5$ là $1631+780+3=2414$