Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
khonggiohan

khonggiohan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

  Cho a, b,c là các số thực dương . CMR

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}}$


             

                 Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $[2-\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}]+[2-\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}]+[2-\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}]\leqslant \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\geqslant 6$

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\geqslant 6\Leftrightarrow \frac{4[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}+\frac{4[2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca]}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}\geqslant 8$

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cô-si nên ta có điều phải chứng minh.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh