Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max min của biểu thức $P=2ab+3ac+3bc+ \frac{6}{a+b+c}$

bất đẳng thức cực trị học sinh giỏi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

c.gif

Anh chị em xem giúp bài này với , đề thi HSG toán 12 hà nội vừa rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungvuhuu: 09-10-2013 - 22:04


#2
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Lời giải mình đọc được bên mathscope :)

 

Xét $P+3=(a+b+c)^2+ac+bc+ \dfrac{6}{a+b+c}$

 

Ta có đánh giá: $0\le ac+ab\le \dfrac{a^2+c^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{3+c^2}{2}$

Và $a^2+b^2+c^2\le (a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$

 

Đặt $t=a+b+c$ thế thì $\sqrt{3}\le t\le 3$

 

Từ đó $t^2+\dfrac{6}{t}\le P \le t^2+\dfrac{6}{t}+2$

 

Ta xét hàm $f(t)=t^2+\dfrac{6}{t}$ trên miền $\sqrt{3}\le t \le 3$.  

 

$f'(t)=2t-\dfrac{6}{t^2}$, $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\sqrt[3]{3}$. Kẻ BBT ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $[\sqrt{3};3]$.

 

Vậy $\min f(t)=f(\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$ và $\max f(t)=f(3)=11$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 11-10-2013 - 15:12


#3
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Lời giải mình đọc được bên mathscope :)

 

Xét $P+3=(a+b+c)^2+ac+bc+ \dfrac{6}{a+b+c}$

 

Ta có đánh giá: $0\le ac+ab\le \dfrac{a^2+c^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{3+c^2}{2}$

Và $a^2+b^2+c^2\le (a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$

 

Đặt $t=a+b+c$ thế thì $\sqrt{3}\le t\le 3$

 

Từ đó $t^2+\dfrac{6}{t}\le P \le t^2+\dfrac{6}{t}+2$

 

Ta xét hàm $f(t)=t^2+\dfrac{6}{t}$ trên miền $\sqrt{3}\le t \le 3$.  

 

$f'(t)=2t-\dfrac{6}{t^2}$, $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\sqrt[3]{3}$. Kẻ BBT ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $[\sqrt{3};3]$.

 

Vậy $\min f(t)=f(\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$ và $\max f(t)=f(3)=11$

cuối cùng vẫn chưa biết max min của P Katyusha ơi



#4
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Tại mình đang ở trên trường nên post vội quá, mình nghĩ đến đó cũng gần xong rồi. 

 

Như chứng minh ở trên thì $3+2\sqrt{3}\le P+3 \le 13$.

 

Vậy $\min P=2\sqrt{3}$ đạt được khi $b=c=0, a=\sqrt{3}$

 

Và $\max P=10$ đạt được khi $a=b=c=1$.



#5
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Lời giải mình đọc được bên mathscope :)

 

Xét $P+3=(a+b+c)^2+ac+bc+ \dfrac{6}{a+b+c}$

 

Ta có đánh giá: $0\le ac+ab\le \dfrac{a^2+c^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{3+c^2}{2}$

Và $a^2+b^2+c^2\le (a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$

 

Đặt $t=a+b+c$ thế thì $\sqrt{3}\le t\le 3$

 

Từ đó $t^2+\dfrac{6}{t}\le P \le t^2+\dfrac{6}{t}+2$

 

Ta xét hàm $f(t)=t^2+\dfrac{6}{t}$ trên miền $\sqrt{3}\le t \le 3$.  

 

$f'(t)=2t-\dfrac{6}{t^2}$, $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\sqrt[3]{3}$. Kẻ BBT ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $[\sqrt{3};3]$.

 

Vậy $\min f(t)=f(\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$ và $\max f(t)=f(3)=11$

Đoạn này là sao vậy bạn


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#6
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Ko biết bài này có ứng dụng j trong thực tế hay chỉ đố cho khó nhỉ :/
Cảm ơn Katyusha





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị, học sinh giỏi

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh