đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungvuhuu: 09-10-2013 - 21:21
đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ
a. Chứng minh bằng phương pháp Quy nạp.
- Với $n=1$ có: $u_2=\frac{2^2}{2014}+\frac{2013.2}{2014}=\frac{2.2015}{2014}>2=u_1$
=> dãy $u_n$ tăng với $n=1$
- Giả sử dãy $u_n$ tăng với $n=k (k\in N^*)$
=> $u_{k+1}>u_k>....>u_1>0$
- Ta cần chứng minh dãy $u_n$ tăng với $n=k+1$
Tức là cần chứng minh $u_{k+2}>u_{k+1}$ $(1)$
Thật vậy :
$(1)$ <=> $\frac{u_{k+1}^2+2013u_{k+1}}{2014}>\frac{u_{k}^2+2013u_{k}}{2014}$
<=> ${u_{k+1}^2+2013u_{k+1}}>u_{k}^2+2013u_{k}$
<=> $(u_{k+1}-u_{k})(u_{k+1}+u_k+2013)>0$ $(2)$
mà $u_{k+1}>u_{k}>0$ => $\left\{\begin{matrix} u_{k+1}-u_{k}>0\\ u_{k+1}+u_k+2013 \end{matrix}\right.$
=> $(2)$ luôn đúng
Vậy dãy $u_n$ tăng với $n\in N^*$
Đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi. Mà khó vì lòng người ngại núi e sông. !
đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ
b.
Có: $u_{n+1}-1=\frac{u_n^2+2013-2014}{2014}=\frac{(u_n-1)(u_{n}+2014)}{2014}$
=> $\frac{u_n+2014}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}$
=> $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}$
Do đó : $v_1+v_2+...+v_n=\frac{2014}{u_1-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}=2014-\frac{2014}{u_{n+1}-1}<2014$
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphuonganh97: 10-10-2013 - 20:25
Đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi. Mà khó vì lòng người ngại núi e sông. !
b.
Có: $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014u_n}{u_n^2+2013u_n-2014}=\frac{2014u_n}{(u_n-1)(u_n+2014)}$
Do đó : $v_1+v_2+...+v_n<2014$
<=> $\sum _{k=1}^{n}\frac{2014u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2014$
<=> $\sum _{k=1}^{n}\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2015$ $(1)$
mà $\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{(u_{k}+2014)-(u_k-1)}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_k+2014}$
=> $v_1+v_2+....+v_n=1-\frac{1}{u_k+2014}$
Do đó $(1)$ <=> $\frac{1}{u_k+2014}>-2014$ (luôn đúng vì $\frac{1}{u_k+2014}>0.-2014$)
Bạn xem hộ mình chỗ bôi đỏ, mình chưa rõ lắm
mà $\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{(u_{k}+2014)-(u_k-1)}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_k+2014}$
=> $v_1+v_2+....+v_n=1-\frac{1}{u_k+2014}$
Chỗ suy luận này hình như không ổn thì phải
b.
Có: $u_{n+1}-1=\frac{u_n^2+2013-2014}{2014}=\frac{(u_n-1)(u_{n}+2014)}{2014}$
=> $\frac{u_n+2014}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}$
=> $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}$
Do đó : $v_1+v_2+...+v_n=\frac{2014}{u_1-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}=2014-\frac{2014}{u_{n+1}-1}<2014$
=> đpcm
chỗ màu đó thiếu un
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh