cho x,y,z là các số thực CMR:$3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+zx+x^{2})\geq (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}$
$3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+zx+x^{2})\geq (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}$
Bắt đầu bởi nam8298, 11-10-2013 - 20:28
#1
Đã gửi 11-10-2013 - 20:28
nam8298
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 11-10-2013 - 20:57
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
cho x,y,z là các số thực CMR:$3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+zx+x^{2})\geq (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}$
Ta có :
$$4(x^{2}+xy+y^{2})-3(x+y)^{2}=(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 4(x^{2}+xy+y^{2})\geq 3(x+y)^{2}$$
Tương tự với các BĐT còn lại và nhân tất cả vế theo vế :
$$\Rightarrow 64(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+xz+x^{2})\geq 27(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}$$
Ta sẽ chứng minh :
$$81(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^2\geq 64(x+y+z)^{2}(xy+yz+xz)^{2}\Leftrightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)\Leftrightarrow x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$$
BĐT cuối luôn đúng nên ta có $Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 17-10-2013 - 23:31
- bangbang1412 và nghiemthanhbach thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 12-10-2013 - 12:38
nam8298
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
x,y,z là các số thực chứ có phải dương đâu mà làm thế đc81(x+y)2(y+z)2(z+x)2≥64(x+y+z)2(xy+yz+xz)2⇔9(x+y)(y+z)(z+x)≥8(x+y+z)(xy+yz+zx)
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
