Đến nội dung

Hình ảnh

Topic: Thảo luận về các bài tập trong chuyên đề số học của VMF.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#21
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài 21: Chứng minh rằng phương trình: $x^2+y^2=z^n$ với mọi số tự nhiên $n$ luôn có nghiệm nguyên dương

Xét số phức $\alpha =a+bi$

Giả sử $\alpha^{n}=x+yi$

Thì ta có: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left | \alpha ^{n} \right |=\left | \alpha \right |^{n}=(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{n}$

Từ đó : $x^{2}+y^{2}=(a^{2}+b^{2})^{n}$



#22
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương:
$2(x+y+z)=x(yz-1)$
Nhân phá ra, chia $xyz$

Hay nhân phá ra rút gọn rồi rút $x$ ra theo $y$



#23
Khoai Lang

Khoai Lang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Cho mình hỏi ví dụ 1.1 khúc:

$d|17$ sao lại suy thẳng ra $d=1$ được?



#24
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

 

- B12, B13: Sử dụng t/c sau $(n,2n+1)=1$ và $(n;2n-1)=1$ ta sẽ có $(M_n;$M_(n+1)$)=1$   nên có ngay ĐPCM.

- Đối với B11 thì trước tiên có nhận xét $a=2^n-3$ không chia hết cho 3 nên $(a;2a+3)=1$. 

 

Sax có ai giải chi tiết hơn được không          :blink:



#25
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Bài 21: Chứng minh rằng phương trình: $x^2+y^2=z^n$ với mọi số tự nhiên $n$ luôn có nghiệm nguyên dương

Thay x=3,y=4,z=5,n=2 thì thỏa mãn điều kiên trên


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#26
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Bài 13:

Dãy Fermat phải là $$F_n=2^{2^n}+1$$ và có thể tổng quát lên là dãy $F_k=a^{2^k}+b^{2^k}$ với $gcd(a;b)=1$, $2|ab$ và $k \in \mathbb{Z^+}$

Giải: Vì $2|ab$ và $(a;b)=1$ nên giả sử $a$ là số chẵn thì $b$ phải là số lẻ. Giả sử $m>n$ với $m,n$ là các số tự nhiên bất kỳ. 
Gọi $(F_m;F_n)=d$ (d là số lẻ vì cả hai $F_m,F_n$ lẻ)
Ta có $a^{2^{n+1}}-b^{2^{n+1}}|a^{2^{n+1}2^{m-n-1}}-b^{2^{n+1}2^{m-n-1}}$ vì $(x-y|x^k-y^k)$ ở đây $(x=a^{2^{n+1}}, y=b^{2^{n+1}}, k=m-n-1)$
Mà $a^{2^{n}}+b^{2^{n}}|(a^{2^{n}})^2-(b^{2^{n}})^2$ suy ra $F_n|F_m-2b^{2^{m}}$
Từ $d|F_n$ và $d|F_m$ suy ra $d|2b^{2^{m}} \Rightarrow d|b^{2^{m}}$. Mà $d|F_m$ suy ra $d|a^{2^{m}}$ kết hợp với giả thuyết $(a;b)=1 \Rightarrow d=1$
(Với dãy Fermat $d|2 \Rightarrow d=1$ nhanh hơn tí)
 


#27
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Việc làm rất ý nghĩa. T ủng hộ một bài:

 

b) Đặt $(m,n)=k$ ta có $m=m'k, n=n'k$ với $(m',n')=1$.

Khi đó $2^m-1=2^{m'k}-1=(2^k-1)P$. Tương tự $2^n-1=2^{n'k}-1=(2^k-1)Q$.

Chú ý $(m',n')=1$ nên $(P,Q)=1$ tức $(2^m-1; 2^n+1)=2^k-1=2^{(m,n)-1}$.

Cái chỗ $(m',n')=1 \Rightarrow (P,Q)=1$ em không hiểu lắm. Với em nghĩ $(2^m-1;2^n-1)=2^k-1$ chứ đâu phải $(2^m-1;2^n+1)=2^k-1$ 



#28
honglien

honglien

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

cmr với n lớn hơn 2 thì chữ số hàng chục của 3n là số chẵn.


:icon12:  :icon12:  :icon12:  Nguyễn Thị Hồng Liên :icon12:  :icon12:  :icon12:

$\Omega \Omega \Omega$


#29
toantuoithotth

toantuoithotth

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

 

Bài 2:  

Tìm $(6k+5;8k+3)$ trong đó $k$ là số tự nhiên.

                                         Giải

ĐKXĐ: $k\geq 0$

Ta có: Với $k\geq 0$ ta có: $6k+5\geq 8k+3$  . Dấu = xảy ra khi k = 1

           +Xét k = 1, ta có: $(6k+5;8k+3)=(11;11)=11$   (1)

          +Xét$k \geq 0$ ($k\neq 1$) thì:

Áp dụng thuật toán Ơclit, ta có:

   $(6k;8k)\Leftrightarrow (6,8)=1$  (2)

     $(5;3)=1$   (3)

  . Mà $8:6=1$ (dư 2)  ; lại có: $8k>6k$    (4)

Từ (1) ;      (2) và (3) kết hợp với (4) ta được: 

  + Với k = 1 thì $(6k+5;8k+3)=11$

  + Với $k\neq 1$ ; $k \geq 0$ thì: $(6k;8k)=(5;3)=(1+5;2+3)=(6;5)=1$ hay $(6k+5;8k+3)=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toantuoithotth: 05-06-2018 - 13:55

                                                                                                    Sĩ quan


#30
toantuoithotth

toantuoithotth

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

Bài 4:

Cho $A=2n+1$; $B=\frac{n(n+1)}{2}$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm $(A;B)$

 

          ĐKXĐ: $A>B$

Ta có công thức: Với hai số $a;b\neq 0 (a,b\geq 1)$ ta luôn có: $(a,b)=\frac{(2a;2b)}{2}$  (bạn đọc tự chứng minh , đó là một bài toán cho bạn đấy)

    Áp dụng vào ta có: $(2n+1;\frac{n(n+1)}{2})=\frac{(4n+2;n(n+1))}{2}$

Từ đây áp dụng thuật toán Ơclit ta có: $(4n+2;n(n+1))=2\Rightarrow (2n+1;\frac{n(n+1)}{2})=\frac{2}{2}=1$

Đáp số: 1


                                                                                                    Sĩ quan





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh