Đến nội dung

Hình ảnh

$\left ( \frac{a+b}2 \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}2{},\forall n\epsilon \mathbb{N}*$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

CMR: nếu $a+b\geq 0$ thì:

$\left ( \frac{a+b}2 \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}2{},\forall n\epsilon \mathbb{N}*$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#2
neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Còn cách dễ hiểu hơn như sau

Ta có $a^{m+n}+b^{m+n}\geq\frac{1}{2} (a^{n}+b^{n})(a^{m}+b^{m})$(cái này dùng phép biến đổi tương đương cho đơn giản nhé)

Ta có $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})\geq \frac{1}{8}(a+b)(a+b)(a^{n-2}+b^{n-2})\geq ...\geq \frac{1}{2^{n}}(a+b)^{n}$

Đặt $A=a^{n};B=b^{n}$ ta được $\frac{A+B}{2}\geq \frac{1}{2^{n}}(\sqrt[n]{A}+\sqrt[n]{B})^{n}$

Khai căn bậc n cả 2 vế ta được đpcm



#3
phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Còn cách dễ hiểu hơn như sau

Ta có $a^{m+n}+b^{m+n}\geq\frac{1}{2} (a^{n}+b^{n})(a^{m}+b^{m})$(cái này dùng phép biến đổi tương đương cho đơn giản nhé)

Ta có $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})\geq \frac{1}{8}(a+b)(a+b)(a^{n-2}+b^{n-2})\geq ...\geq \frac{1}{2^{n}}(a+b)^{n}$

Đặt $A=a^{n};B=b^{n}$ ta được $\frac{A+B}{2}\geq \frac{1}{2^{n}}(\sqrt[n]{A}+\sqrt[n]{B})^{n}$

Khai căn bậc n cả 2 vế ta được đpcm

Còn cách khác là dùng phương pháp quy nạp toán học đó bạn!! logic hơn 


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#4
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Còn 1 cách khác nữa nè!

Dùng BĐT Bernoulli ta có

$\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1+\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{x-y}{x+y}$

$\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1-\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{x-y}{x+y}$

Cộng từng vế 2 BĐT trên  được

$2^{n}\frac{x^{n}+y^{n}}{\left ( x+y \right )^{n}}\geq 2$

Từ đó có được BĐT     $\frac{x^{n}+y^{n}}{2}\geq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{n}$

P/s: lời giải khá hay và độc đáo! :lol:


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Với n = 1, bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là $(\frac{a+b}{2})^k\leqslant \frac{a^k+b^k}{2}$, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là chứng minh $(\frac{a+b}{2})^{k+1}\leqslant \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

Thật vậy, xét hiệu: $\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-(\frac{a+b}{2})^{k+1}=\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-(\frac{a+b}{2})^{k}.(\frac{a+b}{2})\geqslant  \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a^k+b^k}{2}.(\frac{a+b}{2})=\frac{(a-b)^2(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1})}{4}\geqslant 0$ *Đúng*

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh