Chủ đề này có 6 trả lời

[Mrnhan]

Bài 1.

Giả sử $a_1,\: a_2,\: ...,\: a_n$ là các số thực khác nhau và khác $0,\: -1,\: -2,\: ...,\: -n+1$. 

Biết:

 

$M_{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{a_1}&\frac{1}{a_2}&\cdots &\frac{1}{a_n}\\\frac{1}{a_1+1}&\frac{1}{a_2+1}&\cdots &\frac{1}{a_n+1}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\\frac{1}{a_1+n-1}&\frac{1}{a_2+n-1}&\cdots &\frac{1}{a_n+n-1}\end{pmatrix}$

 

 

CMR: $\det\left ( M_n \right )\neq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 17-10-2013 - 12:27

[YeuEm Zayta]

Giả sử $a_1,\: a_2,\: ...,\: a_n$ là các số thực khác nhau và khác $0,\: -1,\: -2,\: ...,\: -n+1$. 

Biết:

 

$M_{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{a_1}&\frac{1}{a_2}&\cdots &\frac{2}{a_n}\\\frac{1}{a_1+1}&\frac{1}{a_2+1}&\cdots &\frac{1}{a_n+1}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\\frac{1}{a_1+n-1}&\frac{1}{a_2+n-1}&\cdots &\frac{1}{a_n+n-1}\end{pmatrix}$

 

Bạn xem lại dùm mình cái đề,số hạng a1n là 2/an hay 1/an ??

[Mrnhan]

Bạn xem lại dùm mình cái đề,số hạng a1n là 2/an hay 1/an ??

Ghi nhầm, đã sửa!

[Mrnhan]

Bài 2.

Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n\times n}$, biết

 

$a_{ij}=\left\{\begin{matrix} i, \:\:j\equiv 0\: (\mod\: i)\\1, \:\:j\not\equiv 0\: (\mod\: i)\end{matrix}\right.$

 

Tính $\det(A)$

 

 

P/s: ...!

 

$\det(A)=i(i-1)^{n-1}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 17-10-2013 - 12:40

[vo van duc]

Bài 2.

Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n\times n}$, biết

 

$a_{ij}=\left\{\begin{matrix} i, \:\:j\equiv 0\: (\mod\: i)\\1, \:\:j\not\equiv 0\: (\mod\: i)\end{matrix}\right.$

 

Tính $\det(A)$

 

 

P/s: ...!

 

$\det(A)=i(i-1)^{n-1}$

 

 

Theo cách định nghĩa như trên thì ta có các nhận xét sau:

• Với các phần tử $a_{ij}$ nằm trên hàng 1 thì $i=1,j=\overline{1,n}$, suy ra các phần tử trên hàng 1 đều bằng $i$ và bằng 1.
• Với các phần tử $a_{ij}$ nằm trên đường chéo chính thì $i=j$ nên $a_{ij}=i$
• Với các phần tử $a_{ij}$ nằm phía dưới đường chéo chính thì $j<i$ nên     $j\not\equiv 0\quad (mod\quad i)$, vì vậy $a_{ij}=1$
• Các phần tử còn lại ta không cần khảo sát khi tính định thức này.

Khi đó ta có

 

$\begin{eqnarray} \det A &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ 1 & 2 & * & * & \cdots & * & *\\ 1 & 1 & 3 & * & \cdots & * & *\\ 1 & 1 & 1 & 4 & \cdots & * & *\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & n-1 & *\\ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ 0 & 1 & * & * & \cdots & * & *\\ 0 & 0 & 2 & * & \cdots & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots & * & *\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-2 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1 \end{vmatrix} = (n-1)! \end{eqnarray}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-10-2013 - 16:45

[Mrnhan]

Em lại nhầm mất, cứ tưởng $i$ bất biến!

[Mrnhan]

Hôm nay đi lạc vào một diễn đàn và thấy lời giải bài 1