Đề thi vào lớp 10 hệ THPT chuyên ĐHSP ĐHQG HN
Năm học 1997-1998
Ngày thứ I :
Bài 1 :
Xét phương trình $\large x^3+ax^2+bx+1=0$], trong đó a và b là hai số hữu tỉ .
a) Chứng minh rằng : $\large a=-5,b=3$] là cặp số hữu tỉ duy nhất làm cho phương trình đã cho có 3 nghiệm , trong đó có một nghiệm là $\large x=2+\sqrt{5}$] . Kí hiệu $\large x_{1},x_{2},x_{3}$] là ba nghiệm đó .
b) Với mỗi số tự nhiên n, đặt $\large S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^n+x_{3}^n$] . Tính $\large S_{1},S_{2},S_{3}$] . Chứng minh rằng $\large S_{n}$] luôn luôn là số nguyên .
c) Tìm số dư trong phép chia $\large S_{1996}$] cho 4 .
Bài 2 :
Cho 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện $\large x+y+z$] chia hết cho 6 . Chứng minh rằng biểu thức $\large M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz$] cũng chia hết cho 6 .
Bài 3 :
Tìm giá trị của tham số $\large a$] để hệ sau có nghiệm duy nhất :
$\large \left\{\begin{array}{l}x^2+|a+1|x \leq x^5-7x^2+x+2 \\x^4+x^3+(a^2-3)x^2-4x-4-4a^2=0\end{array}\right. $]
Bài 4 :
Cho tam giác vuông cân ABC ( vuông ở A) . AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền . M là một điểm thay đổi trên đoạn AD . Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống AB và AC . H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD .
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất .
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 5 :
a) Trên một mảnh giấy có ghi 1996 câu khẳng định như sau :
* Câu thứ 1 : "Trên mảnh giấy này có đúng 1 câu khẳng định sai"
* Câu thứ 2 : "Trên mảnh giấy này có đúng 2 câu khẳng định sai"
* Câu thứ 3 : "Trên mảnh giấy này có đúng 3 câu khẳng định sai"
..................
* Câu thứ 1996 : "Trên mảnh giấy này có đúng 1996 câu khẳng định sai"
Hỏi trong số 1996 câu khẳng định đó có câu nào đúng hay không ? Hãy trình bày rõ lập luận và chỉ ra tất cả các câu đúng nếu có .
b) Cũng câu hỏi như trên nhưng trong các câu khẳng định đã cho chữ "đúng" được thay bằng "không quá" . VD : Câu thứ 1 : "Trên mảnh giấy này có không quá 1 câu khẳng định sai" .
---------------------------
Mời các bạn thảo luận tại đây:
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 13-05-2009 - 11:14