Câu II
1) Tìm k : Giả sử $4a_{n}a_{n + 1} + k$ là số chính phương với mọi n là số nguyên dương.
Ta có $a_{3} = 2a_{2} + 2a_{1} - a_{0} = 10 + 6 - 1 = 15$
$a_{4} = 2a_{3} + 2a_{2} - a_{1} = 30 + 10 - 3 = 37$
$\left\{\begin{matrix} 4a_{1}a_{2} + k = 60 + k = a^{2}\\4a_{2}a_{3} + k = 300 + k = b^{2} \end{matrix}\right.$ với a, b là số tự nhiên.
$\Rightarrow b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a) = 240$
240 = 1. 240 = 2. 120 = 3. 80 = 4. 60 = 5. 48 = 6. 40 = 8.30 = 10.24 = 12. 20 = 15. 16 là tất cả các cách phân tích 240 thành tích của 2 số tự nhiên.
Ta có b + a $\geq 0$ , b + a và b - a cùng tính chẵn lẻ và $b + a \geq b - a$ nên xảy ra các trường hợp sau :
- Nều $\left\{\begin{matrix} b - a = 2\\b + a = 120 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 61\\a = 59 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 59^{2} - 60 = 3421$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 4. 15. 37 + 3421 = 5641$ (loại)
- Nếu $\left\{\begin{matrix} b - a = 4\\b + a = 60 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 32\\a = 28 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 32^{2} - 300 = 724$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 2220 + 724 = 2944$ (loại)
- Nếu $\left\{\begin{matrix} b - a = 6\\b + a = 40 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 23\\a = 17 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 23^{2} - 300 = 229$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 2220 + 229 = 2449$ (loại)
- Nếu $\left\{\begin{matrix} b - a = 8\\b + a = 30 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 19\\a = 11 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 19^{2} - 300 = 61$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 2220 + 61 = 2281$ (loại)
- Nếu $\left\{\begin{matrix} b - a = 10\\b + a = 24 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 17\\a = 7 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 17^{2} - 300 = -11$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 2220 - 11 = 2209 = 47^{2}$ (thỏa mãn)
- Nếu $\left\{\begin{matrix} b - a = 12\\b + a = 20 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} b = 16\\a = 4 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow k = 16^{2} - 300 = -44$
$\Rightarrow 4a_{3}a_{4} + k = 2220 - 44 = 2176$ (loại)
$\Rightarrow k = -11$
2) Với k = -11 ta chứng minh $ 4a_{n}a_{n + 1} + k$ là số chính phương với mọi n là số tự nhiên.
Ta có $a_{n + 3} = 2a_{n + 2} + 2a_{n + 1} - a_{n}$
Dãy số này có phương trình đặc trưng là $X^{3} - 2X^{2} - 2X + 1 = 0$ $\Leftrightarrow (X + 1)(X^{2} - 3X + 1) = 0$
Phương trình này có 3 nghiệm - 1, $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow$ $a_{n}$ = $\alpha$ . $\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n}$ + $\beta$. $\left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n}$ + $\gamma$. $(-1)^{n}$
Trong đó $\alpha , \beta , \gamma$ là nghiệm của hệ :
$\left\{\begin{matrix} a_{2} = \alpha. \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \beta. \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} + \gamma = 5\\a_{1} = \alpha . \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \beta . \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \gamma = 3 \\a_{0} = \alpha + \beta + \gamma = 1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \alpha = \beta = \frac{4}{5}, \gamma = -\frac{3}{5}$
$\Rightarrow a_{n} = \frac{4}{5}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n} + \frac{4}{5}\left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n} - \frac{3}{5}(-1)^{n}$
$\Rightarrow 4a_{n}a_{n + 1} - 11$
= $ 4.\left ( \frac{4}{5}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n} + \frac{4}{5}. \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n} - \frac{3}{5}.\left ( -1 \right ) ^{n}\right ).\left ( \frac{4}{5}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n + 1} + \frac{4}{5}. \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n + 1} + \frac{3}{5}.\left ( -1 \right ) ^{n}\right ) - 11$
= $\frac{64}{25}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} + \frac{64}{25}. \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} - 4.\frac{3}{5}.\frac{3}{5} - 11 + \frac{64}{25}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}. \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right ) - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n}.\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1 \right) - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n}.\left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} -1 \right )$
= $\frac{64}{25}.\left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^{4n + 2} + \frac{64}{25}. \left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^{4n + 2} - \frac{119}{25} - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1}$
= $\frac{64}{25}.\left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^{4n + 2} + \frac{64}{25}. \left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^{4n + 2} + \frac{9}{25} + 2.\frac{64}{25}.(-1)^{2n + 1} - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} - \frac{48}{25}.(-1)^{n}.\left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1}$
= $\left ( \frac{8}{5}. \left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} + \frac{8}{5}. \left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^{2n + 1} - \frac{3}{5}. (-1)^{n} \right )^{2}$
(đặt) = $u_{n}^{2}$
Vì $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ và -1 là 3 nghiệm của phương trình
$(Y^{2} - Y - 1)(Y + 1) = 0$ $\Leftrightarrow Y^{3} - 2Y - 1 = 0$
nên suy ra $u_{n + 3} = 2u_{n + 1} + u_{n}$
Lại có $u_{0} = \frac{8}{5}.1 - \frac{3}{5} = 1$
$u_{1} = \frac{8}{5}.(2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5}) + \frac{3}{5} = 7$
$u_{2} = \frac{8}{5}.\left ( \frac{176 + 80\sqrt{5}}{32} + \frac{176 - 80\sqrt{5}}{32} \right ) - \frac{3}{5} = 17$
$u_{0}, u_{1}, u_{2}$ đều là số nguyên dương và $u_{n + 3} = 2u_{n + 1} + u_{n}$ nên dùng quy nạp chứng minh được $u_{n}$ là số nguyên dương với mọi n là số tự nhiên
$\Rightarrow$ $4a_{n}a_{n + 1} - 11$ là số chính phương với mọi n là số tự nhiên.
Vậy k = -11.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 16-10-2013 - 15:00