Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

vmf.jpg

Ngày thứ 1.

Câu 1. Cho dãy số $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ cho bởi 

$$x_{1}=1 ; x_{n+1}=20+\frac{13}{x_{n}}$$

Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ hội tụ và tìm $\lim x_n.$

Câu 2. Cho đường tròn $($O$)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn và không trùng với $A,B$. Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$ . Đường tròn $($J$)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AB,CD$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $($O$)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao của các đường phân giác trong góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$ . Chứng minh rằng $F$ nằm trên 1 đường thẳng cố định.

Câu 3. Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=\sqrt{xyz}$ . Chứng minh rằng :

$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}< \frac{1}{3.4^{2013}}$$

Câu 4. Trong một phòng thi có $n\geq 2$ thí sinh, được xếp xung quanh một bàn tròn . Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau , mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản . Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh được nhận chỉ $1$ đề và hai thí sinh bất kỳ ngồi cạnh nhau thì nhận được $2$ loại đề khác nhau. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh? Biết rằng số cách phát đề hợp lệ không vượt quá $2013$ 

Ngày thứ 2.

Câu 1. Cho $a,b\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $1\le a\le b$ và đặt $M=\lfloor\frac{a+b}{2}\rfloor.$ Giả sử $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số cho bởi $f(n)=n+a$ nếu $n<M$ và $f(n)=n-b$ nếu $n\ge M,$ $\forall\, n\in\mathbb{Z}.$ Đặt $f^1(n)=f(n),f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$ $\forall\, i>1.$ Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho $f^k(0)=0.$

Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $O_1,O_2$ nằm về hai phía của đường thằng $AB.$ Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D\ne A$ ($A$ nằm giữa $C$ và $D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2).$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Câu 3. Cho $p$ nguyên tố và $p\equiv3\pmod{4}.$ Hãy tìm số dư của phép chia $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((p-1)^2+1)$ cho $p.$

Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1,1]$ sao cho tổng 4 số trong hình vuông con $2\times 2$ bất kỳ thì bằng $0.$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $2013\times 2013.$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 15-10-2013 - 22:31


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Câu 4. Trong một phòng thi có $n\geq 2$ thí sinh, được xếp xung quanh một bàn tròn . Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau , mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản . Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh được nhận chỉ $1$ đề và hai thí sinh bất kỳ ngồi cạnh nhau thì nhận được $2$ loại đề khác nhau. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh? Biết rằng số cách phát đề hợp lệ không vượt quá $2013$ 

Bài này hơi dễ nhỉ (so với bài tổ hợp ngày 2 thì ... :()

Gọi $a_n$ là số cách xếp hợp lệ, $b_n$ là số cách xếp mà chỉ có thí sinh thứ $1$ và thứ $n$ có cùng đề với nhau

Dễ dàng thấy rằng $a_{n}=2a_{n-1}+3b_{n-1}$, $b_n=2a_{n-1}$

Dễ dàng tính được $a_{2},b_{2}$, suy ra công thức tổng quát của $a_n$ là (cái này thì mình xem bên MS :)))

$a_n=3^n+3.\left ( -1 \right )^n$

Xét bất phương trình $3^n+3.\left ( -1 \right )^n\leq 2013$ ($n \in \mathbb{N}$)

Vậy $n_{max}=6$



#3
unvhoang1998

unvhoang1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

cai chỗ $a_n=3^n+3.\left ( -1 \right )^n$ nói dễ chả dẽ tí nào


$\sqrt{\tilde{\mho}}$

 

H$\sigma$$\grave{\alpha}$$\eta$$\varrho$

Không có gì là không thể......... trừ khi bạn không đử dũng khí để tiếp tục làm!!!!

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 Rất mong làm quen  MY FACEBOOK


#4
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Post luôn đề ngày 2

Ngày 2.[/SIZE][/B]
 
Bài 1. Cho $a,b\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $1\le a\le b$ và đặt $M=\lfloor\frac{a+b}{2}\rfloor.$ Giả sử $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số cho bởi $f(n)=n+a$ nếu $n<M$ và $f(n)=n-b$ nếu $n\ge M,$ $\forall\, n\in\mathbb{Z}.$
Đặt $f^1(n)=f(n),f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$ $\forall\, i>1.$ Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho $f^k(0)=0.$
 
Bài 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $O_1,O_2$ nằm về hai phía của đường thằng $AB.$ Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D\ne A$ ($A$ nằm giữa $C$ và $D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2).$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
 
Bài 3. Cho $p$ nguyên tố và $p\equiv3\pmod{4}.$ Hãy tìm số dư của phép chia $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((p-1)^2+1)$ cho $p.$
 
Bài 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1,1]$ sao cho tổng 4 số trong hình vuông con $2\times 2$ bất kỳ thì bằng $0.$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $2013\times 2013.$


#5
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết


Bài 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1,1]$ sao cho tổng 4 số trong hình vuông con $2\times 2$ bất kỳ thì bằng $0.$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $2013\times 2013.$

 

Gọi $S_n$ là tổng các ô trên bảng $n \times n$, $a_i$ là số nằm trên ô có toạ độ $\left ( i,i \right )$

Dễ dàng thấy rằng $S_{2n+1}=S_{2n-1}+a_{2n+1}-a_{2n}$

Từ đây có thể suy ra rằng $S_{2n+1}=\sum_{i=1}^{2n+1}\left ( -1 \right )^{i+1}a_i\leq 2n+1$

$S_{2013} \leq 2013$

Ta có thể xây dựng được bảng thoả yêu cầu đề bài bằng cách đặt các số $1$ vào hàng thứ $2k+1$, số $-1$ vào hàng thứ $2k$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 15-10-2013 - 22:27


#6
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết

Xin file pdf cái coi ner, gợi ý: Kiên giúp mình dc không cậu=))


Chữ ký spam! Không cần xoá!

#7
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

 

Câu 1. Cho dãy số $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ cho bởi 

$$x_{1}=1 ; x_{n+1}=20+\dfrac{13}{x_{n}}$$

Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ hội tụ và tìm $\lim x_n.$

Lời giải :

Dễ thấy $(x_n)$ là dãy số dương, ta có ngay $x_{n+1}=20+\dfrac{13}{x_n}> 20$, suy ra $x_{n+1}=20+\dfrac{13}{x_n}< 20+\dfrac{13}{20}=\dfrac{413}{20}$. Tức là $20< x_n< \dfrac{413}{20}$.

Như vậy dãy $(x_n)$ bị chặn.

Xét hàm số $f(x)=20+\dfrac{13}{x}$, hàm này nghịch biến trên $\left ( 0,+\infty \right )$.

Theo giả thiết thì ta có :

$$x_{n+1}=f(x_n),\;\forall n\in \mathbb{N}^*$$

Xét hai dãy số $a_n=x_{2n-1},b_n=x_{2n}$. 

Ta tính được

 $$x_3=\dfrac{673}{33}> x_1\Rightarrow f(x_3)< f(x_1)\Rightarrow x_4< x_2\Rightarrow f(x_4)> f(x_2)\Rightarrow x_5> x_3\Rightarrow ...\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{2n+1}> x_{2n-1}\\ x_{2n+2}< x_{2n} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{n+1}> a_{n}\\ b_{n+1}< b_n \end{matrix}\right.$$

Như vậy dãy $(a_n)$ tăng và dãy $(b_n)$ giảm, tuy nhiên cả hai dãy này đều bị chặn nên chúng có giới hạn hữu hạn. Gọi $A=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}a_n,B=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}b_n$, chuyển qua giới hạn, ta có hệ :

$$\left\{\begin{matrix} A=20+\dfrac{13}{B}\\ B=20+\dfrac{13}{A} \end{matrix}\right.\Rightarrow A=B$$

Dẫn đến phương trình :

$$A^2-20A-13=0\Leftrightarrow A=10+\sqrt{113}\;\;(A> 0)$$

Do vậy ta được $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}x_n=10+\sqrt{113}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh