Đến nội dung

Hình ảnh

$L=\lim_{x\to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 16-10-2013 - 14:44

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2
zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$

 

$\begin{bmatrix} 1 &-\frac{\alpha}{n} \\ \frac{\alpha}{n} & 1 \end{bmatrix}^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right )^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n$

 

Với: $I=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ là ma trận đơn vị. $B=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$

 

$\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}.\frac{n^{n-k}}{\alpha^{n-k}}I^{n-k}B^k=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{k!}.\frac{\alpha^k}{n^k}B^k$

 

$\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k}.\frac{\alpha^k}{k!}B^k=$

$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\left (\lim_{n\to +\infty} \frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k} \right ).\frac{\alpha^kB^k}{k!}=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha^kB^k}{k!}=e^{\alpha B}$

 

Đến đây thì liệu có thể tính cụ thể được $e^{\alpha B}$ không nhỉ? :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 26-10-2013 - 10:28


#3
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$

 

Câu này quen quen, hình như... ở đâu đấy, em đã đọc và lời giải như sau:

 

Giải:

 

Đặt $\tan\varphi=\frac{\alpha}{n}$

 

Ta được $$A=\begin{pmatrix} 1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}=\frac{1}{\cos\varphi}\: \begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi \end{pmatrix}$$

 

$$\Rightarrow A^n=\frac{1}{\cos^n\varphi}\begin{pmatrix}\cos n\varphi&-\sin n\varphi\\\sin n\varphi&\cos n\varphi \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}$$

 

Vì $\tan n\varphi=\tan \left ( n\arctan\frac{\alpha}{n} \right )\sim \tan\alpha$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh