3 replies to this topic

[vo van duc]

Cho 2 ma trận vuông cấp $n$ sao cho $AB-BA=B.$

 

a) CMR: $\forall k\:\epsilon \:\mathbb{N},\: AB^k=B^k\left ( A+kI_n \right )$

 

b) CMR: $\det B=0$

 

c) CMR: $B$ lũy linh

Edited by vo van duc, 16-10-2013 - 07:42.

[zarya]

a, Chứng minh theo quy nạp:

$k=1$: Từ định nghĩa: $AB-BA=B\Rightarrow AB=B(A+I_n)$

Giả sử đẳng thức đúng với $k>1: AB^k=B^k(A+kI_n)$

Ta có: $AB^{k+1}=AB^kB=B^k(A+kI_n)B=B^k(AB+kI_nB)=B^k(BA+B+kB)=B^{k+1}(A+(k+1)I_n)$

 

c, Có: $trace(B)=trace(AB-BA)=trace(AB)-trace(BA)=0$

Do ma trận B có vết bằng 0 nên nó lũy linh.

 

b, Do B lũy linh nên hiển nhiên $detB=0$.

 

P/s: Các bạn thử chứng minh mệnh đề này nhé: Một ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu vết của nó bằng 0.

(Bài toán tổng quát hơn: $A$ lũy linh nếu và chỉ nếu $trace(A^k)=0$ với $k>0$)

[YeuEm Zayta]

Bài toán bạn nêu ra theo cách phát biểu trên thì chưa chính xác !!!
M phát biểu lại như sau:Một mt vuông cấp $n$ được gọi là lũy linh nếu và chỉ nếu tổng các giá trị riêng từ lũy thừa bậc $k$ hữu hạn của nó đều bằng $0$ ($k>=0$)
hay: $A$ cấp $n$ lũy linh khi và chỉ khi $tr(A^k)=0$ với mọi $k$
1 bài toán khác mở liên quan đến bài toán a Đức : ma trận $C$ vuông cấp n có $c_{ii}=0$ luôn có thể biểu diễn dưới dạng : $AB-BA$ ,$A,B$ vuông cấp $n$.

[zarya]

Đúng rồi, chỗ đó mình không để ý. Thanks Zayta nhé.