PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BA TRI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Năm học: 2013-2014 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (4 điểm)
a) Cho biểu thức $f(x)=(2x^{3}-21x-29)^{2013}$. Tính $f(a)$ với $a=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
b) Với a, b, c là các số tự nhiên, chứng minh rằng:
$B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$ không phải là số nguyên.
Câu 2: (4 điểm)
a) Cho $x\geq 1, y\geq 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}$
Câu 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình $x^{2}-2x+3=2\sqrt{2x^{2}-4x+3}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy+x+y=3\\ \frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{1}{y^{2}+2y}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF $(D \epsilon BC, E \epsilon CA, F \epsilon AB)$. Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt (O) tại M.
a) Chứng minh bốn điểm A, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng GH vuông góc với AN.
Câu 5: (5 điểm)
a) Cho tam giác nhọn ABC, gọi O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh: $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=1$
b) Cho tam giác ABC cân có $\widehat{A}=120^{\circ}$ nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Hai điểm D, E chuyển động trên cung lớn BC của (O) sao cho DE=R; tia AD nằm giữa hai tia AB, AE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD, CE. Tìm vị trí của D, E để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhấ đó là bao nhiêu?
@@: Mấy đề này khó phết !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 22-10-2013 - 13:34