Chủ đề này có 1 trả lời

[nam8298]

Cho a,b,c >0 và $\sum a^{4}\geq \sum a^{3}$  CMR  $\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 19-10-2013 - 13:21

[Hoang Tung 126]

Ta sẽ CM :$\frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\geq \frac{a^4\sqrt{3}}{a^3+b^3+c^3}< = > \frac{a^6}{b^4+b^2c^2+c^4}\geq \frac{3a^8}{(a^3+b^3+c^3)^2}< = > (a^3+b^3+c^3)^2\geq 3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)< = > a^6+b^6+c^6+2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3 \geq 3a^2b^4+3a^2b^2c^2+3a^2c^4$

Mà :$3a^2b^4=3ab.ab.b^2\leq a^3b^3+a^3b^3+b^6$

       $3c^4a^2=3.ac.ac.c^2\leq a^3c^3+a^3c^3+c^6$

       $3a^2b^2c^2=3.a^2.bc.bc\leq a^6+b^3c^3+b^3c^3$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $= > \sum a^6+2\sum a^3b^3\geq 3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)$(luôn đúng)

$= > \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\geq \frac{\sqrt{3}(b^4+c^4+a^4)}{a^3+b^3+c^3}\geq \sqrt{3}$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1