Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 19-10-2013 - 13:02
Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa
#1
Đã gửi 18-10-2013 - 23:40
- E. Galois, tanh, caybutbixanh và 17 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 18-10-2013 - 23:42
$\fbox{10}$ $\left\{\begin{matrix} z^2+2xyz=1 \\ 3x^2y^2+3xy^2=1+x^3y^4 \\ z+zy^4+4y^3=4y+6y^2z \end{matrix} \right.$
$\fbox{11}$ $\left\{\begin{matrix} 2z(x+y)+1=x^2-y^2 \\ y^2+z^2=1+2xy+2zx-2yz \\ y(3x^2-1)=-2x(x^2+1) \end{matrix} \right.$
$\fbox{12}$Tìm nghiệm dương của hệ:$\left\{\begin{matrix} x+y+z=a+b+c\\ 4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{matrix} \right.$ trong đó $a,b,c$ là các số dương cho trước
Vì kiến thức còn hạn hẹp nên mong các thành viên VMF đóng góp nhiều bài toán hay về phương pháp để cho bài viết được hoàn chỉnh.Hãy cùng thảo luận tại http://diendantoanho...c-hóa/?p=458492
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 19-10-2013 - 16:26
- mua_buon_97, huuphuc292, Trang Luong và 16 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 18-10-2013 - 23:45
Đây là file PDF... untitled-2.pdf 184.59K 2940 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 19-10-2013 - 13:12
- E. Galois, 1110004, huuphuc292 và 5 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 19-03-2014 - 20:24
mình thấy một số bài toán lượng giác hóa bằng cách đặt $x=\tan {\frac{t}{2}}$ ,cho mình hỏi là dấu hiệu nào đặt như vây thế
#5
Đã gửi 04-04-2015 - 20:00
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#6
Đã gửi 10-04-2015 - 14:13
$\fbox{2}$ $2x+(4x^2-1)\sqrt{1-x^2}=4x^3+\sqrt{1-x^2}$Bài này giải ntn?
Đặt $x=\sin t$ với $t\in [0, \pi]$ thì $2\sin t+(4\sin^2 t-1).\cos t=4\sin^3 t+\cos t\Leftrightarrow (\sin 2t - 1)(\sin t+\cos t)=0$
- nguyenhongsonk612 và hoctrocuaZel thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#7
Đã gửi 01-05-2015 - 17:19
$8x^3-6x= \sqrt{2x+2}$ thì điều kiên của bài này là gì vậy?
@ Nero: thì điều kiện là $x \ge -1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-05-2015 - 11:58
#8
Đã gửi 04-05-2015 - 10:48
vd1 thiếu nghiệm x=cos $\frac{3\pi }{4}$, có 3 nghiệm cơ mà
@ Nguyen Uyen: em nói đúng đấy!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-05-2015 - 11:56
-U.S.P-
#9
Đã gửi 13-10-2015 - 19:10
câu ví dụ số 1 ra 3 nghiệm của x. nghiệm thứ 3 là x=cos(3pi/4)
#10
Đã gửi 14-06-2016 - 07:05
những cái đẳng thức lượng giác được dùng luôn à???
#11
Đã gửi 29-12-2016 - 11:31
$8x^3-6x= \sqrt{2x+2}$ thì điều kiên của bài này là gì vậy?
@ Nero: thì điều kiện là $x \g
Điều kiện là: 8x^3 - 6x ≥0 nha bạn
#12
Đã gửi 03-01-2018 - 18:42
đặt ẩn là sint
xong tìm x
nhưng mik kém mấy cái xác định trên đường tròn lượng giác lắm
#13
Đã gửi 17-12-2018 - 19:08
$\fbox{Ví dụ 7}$ Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=1 \\ 16x^5-20x^3+5x+512y^5-160y^3+10y+\sqrt{2}=0 \end{matrix} \right.$Giải:Rõ ràng từ phương trình tứ nhất của hệ ta thấy xuất hiện $A^2+B^2=1$ nên ta nghĩ ngay đến viện đặt $A=\sin t, B=\cos t$ khi đó chắc chắn sẽ tồn tại $ t \in (0;2\pi)$Với $A=x,B=2y$ nên ta đặt $x=\sin t, y=\cos t, t \in(0;2\pi)$, ta được hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sin^2 t+\cos^2 t=1 \\ 16\sin^5 t-20\sin^3 t +5 \sin t+16 \cos^5 t-20\cos^3 t +5 \cos t =-\sqrt{2} (*) \end{matrix} \right.$Ta đi giải phương trình (*): Nhận thấy hệ số và bậc của hàm $\sin, \cos $ bằng nhau.Điều đó giúp ta liên tưởng đến công thức lượng giác$ (*) \Leftrightarrow \sin 5t +\cos 5t =-\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin 5t+\frac{\pi}{4}=-1 \Leftrightarrow t= \frac{-3\pi}{4}+k2\pi,k \in \mathbb{Z} $Vì $ t \in (0;2\pi)$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $ k=1;2;3;4;5 $ $ \Rightarrow t $ nhận các giá trị$ t= \frac{\pi}{4}; \frac{13\pi}{20} ; \frac{21\pi}{20} ; \frac{29\pi}{20} ;\frac{27\pi}{20}$Kết luận:Nghiệm hệ phương trình$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4} \right) ; \left(\sin \frac{13\pi}{20}; \frac{1}{2} \cos \frac{13\pi}{20} \right); \left( \sin \frac{21\pi}{20}; \frac{1}{2} \cos \frac{21\pi}{20} \right); \left(\sin \frac{29\pi}{20} ; \frac{1}{2} \cos \frac{29\pi}{20} \right); \left(\sin \frac{37\pi}{20}; \frac{1}{2} \cos \frac{37\pi}{20}\right) $ $\square$Nhận xét:$\bullet$ Thoạt tiên, khi giải quyết hệ này ta thấy bậc ở phương trình thứ 2 rất lớn, lên tận bậc 5 $\rightarrow$ nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp đánh giá , phương pháp hàm,..$\bullet$ $x,y$ đứng độc lập và các hệ số các hạng tử cùng bậc bằng nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm để giải nhưng sự xuất hiện của $\sqrt{2}$ làm công việc trở nên khó khăn$\bullet$ Để ý kĩ một chút sự xuất hiện của phương trình thứ nhất $A^2+B^2=1$ và $\sqrt{2}$ đã làm cho ta liên tưởng đến phép đặt lượng giác quen thuộc được nêu ở trên.Đã liên tưởng đến phép đặt lượng giác nhưng công việc còn lại là khá rắc rối. Phương trình thứ 2 xuất hiện 3 loại bậc là 5,3,1 mà công thức nhân 5 ẩn chứa chúngGhi nhớ:$\displaystyle \fbox{$\begin{matrix} \cos 5 \alpha = 16 \cos^5 \alpha -20\cos^3 \alpha +5 \cos \alpha & \\ \sin 5\alpha =16 \sin^5 \alpha -20 \sin^3 \alpha +5 \sin \alpha & \end{matrix}$ } $Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (2x+3y)^2=1+12xy \\ 512x^5-160x^3+12x+3888y^5-540y^3+18y=0 \end{matrix} \right.$$\fbox{Ví dụ 8}$ Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 3\left(x+\frac{1}{x}\right)=4\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\left(z+\frac{1}{z} \right) \:\: (1)\\ xy +yz +zx=1 \hspace{4.1cm}(2) \end{matrix} \right.$Giải:Điều kiện $xyz \neq 0$ từ $xy+yz+zx=1$ suy ra $x,y,z$ phải cùng dấuNhận thấy nếu $(x;y;z) $ là một nghiệm của hệ thì $(-x;-y;-z) $ cũng là nghiệm của hệ . Do vậy ta chỉ cần tìm nghiệm dương của hệ $\rightarrow$ nghiệm còn lạiXét trường hợp $ x,y,z > 0$Vì có sự xuất hiện $xy+yz+zx=1$ nên ta đặt $x=\tan \alpha ; y=\tan \beta ; z= \tan \gamma \left (0< \alpha,\beta,\gamma <\frac{\pi}{2} \right)$Từ phương trình (2): $\tan \alpha.\tan \beta+ \tan \beta.\tan \gamma+ \tan \gamma.\tan \alpha=1$$\Leftrightarrow \tan \beta(\tan \alpha+\tan \gamma)=1-\tan \gamma \tan \alpha$$\Leftrightarrow \tan \beta = \frac{1- \tan \gamma \tan \alpha}{ \tan \alpha+ \tan \gamma}= \cot(\alpha+\gamma)$$\Leftrightarrow \alpha+ \beta+\gamma = \frac{\pi}{2}$Từ phương trình (1): $3 \frac{\tan^2 \alpha}{\tan \alpha} =4 \frac{\tan^2 \beta+1}{\tan \beta}=5 \frac{\tan^2 \gamma+1}{\tan \gamma}$$\Leftrightarrow \frac{3}{\sin 2\alpha}= \frac{4}{\sin 2\beta} = \frac{5}{\sin 2\gamma}$Ta có hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix} \frac{3}{\sin 2\alpha}= \frac{4}{\sin 2\beta} = \frac{5}{\sin 2\gamma} \\ \\ 0< \alpha,\beta,\gamma < \frac{\pi}{2} ; \alpha+\beta+\gamma =\frac{\pi}{2} \end{matrix} \right.$Từ hệ trên suy ra $ 2\alpha; 2\beta ; 2\gamma $ là các góc của tam giác có cạnh tương ứng là 3;4;5 mà 3;4;5 là bộ 3 PY-TA-GOTheo định lý sin trong tam giác $\rightarrow 2\gamma =90^\circ \Rightarrow \gamma =45^\circ \Rightarrow z= \tan 45^\circ =1$$\tan 2\alpha= \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} =\frac{3}{4} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{3}=x$$\tan 2\beta= \frac{2\tan \beta}{1-tan^2 \beta}= \frac{4}{3} \Rightarrow \tan \beta=\frac{1}{2}=y$Vậy hệ có 2 nghiệm là $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{2};1 \right) ; \left(\frac{-1}{3} ; \frac{-1}{2};-1 \right) $ $\square$$\fbox{Ví dụ 9}$ Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 \hspace{3.9cm}(1)\\ \frac{x}{x+yz} +\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} = \frac{9}{4} \:\:\:\:\:\:\:(2) \end{matrix} \right.$Giải:Nhận thấy $x,y,z=0$ không phải là nghiệm hệViết lại phương trình (1) dưới dạng $\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$Đặt $\sqrt{\frac{xy}{z}}= \tan \frac{A}{2} , \sqrt{\frac{xz}{y}}=\tan \frac{B}{2}, \sqrt{\frac{yz}{x}}=\tan \frac{C}{2}; A,B,C \in(0,\pi)$ta được $\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}}=1$Tương tự như ví dụ trên dễ dàng suy ra $A+B+C= \pi$Phương trình (2):$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} =\displaystyle \frac{1}{1+tan^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{B}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{C}{2}}= \frac{9}{4}$$\Leftrightarrow \cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2}=\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow \frac{3+\cos A+\cos B+\cos C}{2}=\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow \cos A+ \cos B+\cos C= \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2 \frac{A}{2} +2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}= \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow 4\sin^2 \frac{A}{2} +2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}=\frac{3}{2}$ (*)$\triangle ' =4(\cos^2 \frac{B-C}{2}-1) \geqslant 0 $ .Mặt khác $\cos^2 \frac{B-C}{2}-1 \leqslant 0$Nên (3) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B-C}{2} \\ \sin \frac{B-C}{2}=0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}$ .Từ đó suy ra $x=y=z=\frac{1}{3} \square$$\fbox{Ví dụ 10}$:Tìm tất cả các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:$x^6+y^6+z^6-6(x^4+y^4+z^4)+10(x^2+y^2+z^2)-2(x^3y+y^3z+z^3x)+6(xy+yz+zx)=0$Giải: Phương trình tương đương với$(x^3-3x-y)^2+(y^3-3y-z)^2+(z^3-3z-x)^3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=x^3-3x \\ x=z^3-3z \\ z=y^3-3y \end{matrix} \right.(I)$+) Nếu $x>2$ thì $y=x^3-3x=x(x^2-3)>2 \Rightarrow z=y(y^2-3)>2$.Ta cộng 3 vế hệ $(I)$ ta được:$0=x^3+y^3+z^3-4x-4y-4z=x(x^2-4)+y(y^2-4)+z(z^2-4)>0$ (Vô lý)+) Tương tự với trường hợp $x<2$ thì hệ (I) không có nghiệm.Vậy $\left |x\right | \leqslant 2$Với điều kiện đó ta đặt $x=2\cos t , t \in [0;\pi] $ ta đươc hệ: $\left\{\begin{matrix} y=2(4\cos^3 t -3\cos t)=2 \cos 3t \\ x=2(4\cos^3 3t- 3\cos 3t)= 2\cos 9t \\ z= 2(4\cos^3 9t -3\cos 9t)=2\cos 27t \end{matrix} \right.$Từ hệ trên suy ra $\cos t= \cos 27t \Leftrightarrow t= k\frac{\pi}{13},k \in \mathbb{Z}$ hoặc $t= l\frac{\pi}{14}, l \in \mathbb{Z}$mà $t \in[0;\pi]$ nên $k=0;1;2;...;13$ hoặc $l=0;1;2;..;14$Vậy bộ 3 số $(x,y,z)$ cần tìm là $(2\cos t; 2\cos 3t; 2\cos 9t)$ với $t=k\frac{\pi}{13},k=0;1;2;...;13$ hoặc $t=l\frac{\pi}{14},l=0;1;2;..;14$.Có 27 bộ 3 số thỏa mãn $\square$Nhận xét:Không giống như các ví dụ trước,điều kiện của biến thường được thấy rõ từ điều kiện xác định của phương trình.Ở ví dụ này,chúng ta phải tìm điều kiện chặt của biến để từ đó tìm ra phép đặt lượng giác.Bài tập tương tự: Tìm tất cả các giá trị của tổng $S=x+y+z$;biết rằng $x,y,z$ là nghiệm hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix} \right.$III.Bài tập tự luyệnGiải các phương trình và hệ phương trình sau$\fbox{1}$ $\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$$\fbox{2}$ $2x+(4x^2-1)\sqrt{1-x^2}=4x^3+\sqrt{1-x^2}$$\fbox{3}$ $2-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=2x^2$$\fbox{4}$ $8x.(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1, x \in (0;1) $$\fbox{5}$ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1 \\ 2xy+yz+zx=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right.$$\fbox{6}$ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz \\ x(y^2-1)(z^2-1)+y(x^2-1)(z^2-1)+z(x^2-1)(y^2-1)=0 \end{matrix} \right.$$\fbox{7}$ $\left\{\begin{matrix} (1+x^2+x^2y+y)^2=8(x^2+x^2y) \\ (1+y^2+y^2z+z)^2=8(y^2+y^2z) \\ (1+z^2+z^2x+x)^2=8(z^2+z^2x) \end{matrix} \right.$$\fbox{8}$ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 \\ \sqrt{\frac{xy}{z+xy}} +\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\sqrt{\frac{zx}{y+zx}} \end{matrix} \right.$$\fbox{9}$ $ \left\{\begin{matrix} 0<x,y,z<1 \\ xy+yz+zx=1 \\ \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2} +\frac{z}{1-z^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right.$$\fbox{10}$ $\left\{\begin{matrix} z^2+2xyz=1 \\ 3x^2y^2+3xy^2=1+x^3y^4 \\ z+zy^4+4y^3=4y+6y^2z \end{matrix} \right.$
$\fbox{11}$ $\left\{\begin{matrix} 2z(x+y)+1=x^2-y^2 \\ y^2+z^2=1+2xy+2zx-2yz \\ y(3x^2-1)=-2x(x^2+1) \end{matrix} \right.$
$\fbox{12}$Tìm nghiệm dương của hệ:$\left\{\begin{matrix} x+y+z=a+b+c\\ 4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{matrix} \right.$ trong đó $a,b,c$ là các số dương cho trước
Vì kiến thức còn hạn hẹp nên mong các thành viên VMF đóng góp nhiều bài toán hay về phương pháp để cho bài viết được hoàn chỉnh.Hãy cùng thảo luận tại http://diendantoanho...c-hóa/?p=458492
Ứng dụng của pp này có rộng ko ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh