Tại mỗi đỉnh của 1 đa giác đều $100$ cạnh ta đánh 1 số bất kì trong các số tự nhiên $1,2,..,49$. Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác đều ( kí hiệu là $a$, $B$, $C$, $D$ với các số được ghi vào là $a,b,c,d$) sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật thỏa $a+b=c+d$.
Giống đề chọn đội tuyển 30/4 LHP
Ta có $a+b=c+d\Rightarrow |a-c|=|b-d|$
Gọi $M(i)$ là hiệu giá trị của 2 đỉnh đối xứng nhau qua tâm của đa giác.
Khi đó $1\leq i \leq 50$ mà $0\leq |M(i)|\leq 48$ nên tồn tại $|M(i)|=|M(j)|,1\leq j\leq 50$, như vậy sẽ tồn tại $a,b,c,d$ thỏa mãn. Chú ý rằng hai cặp đỉnh đối xứng nhau qua tâm tạo nên 1 hình chữ nhật