Với những phương trình phức tạp mà bạn không thể giải thuần túy đại số thì bài viết này rất hữu ích cho bạn.
Các máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này bao gồm phán đoán ra cách giải đúng và áp dụng công thức để đưa ra các phán đoán chính xác hơn cho đến khi ta tìm ra được giá trị (có thể xấp xỉ) đúng nhất của phương trình.
Nếu ta muốn tìm $x$ để $f(x)=0$ (dạng bài toán phổ biến) thì ta đoán một vài giá trị $x_{1}$ gần đúng nhất, từ đó ta sẽ tìm ra giá trị xấp xỉ phù hợp bằng cách sử dụng công thức Newton
$$x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$$
(Công thức này dựa vào phương trình đường thẳng theo độ dốc)
Ví dụ 1: Giải phương trình
$$2x^{2}-x-2=0$$
Trả lời
Spoiler
Ta có đồ thị phương trình trên
Đặt:
$$f(x)=2x^{2}-x-2$$
$$\Rightarrow f'(x)=4x-1$$
Thử $x_{1}=1,5$
Ta được:
$$x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$$
$$=1,5-\frac{f(1,5)}{f'(1,5)}$$
$$=1,3$$
Vậy $1,3$ là giá trị xấp xỉ đúng hơn
Tiếp tục quy trình này
$$x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}$$
$$=1,3-\frac{f(1,3)}{f'(1,3)}$$
$$=1,2809524$$
Ta có thể làm tiếp quy trình này nhiều lần để tìm ra giá trị chính xác nhất
Kiểm tra: Sử dụng một vài phần mềm toán học (như Mathcad), ta có thể phải nhập vào giá trị dự đoán ban đầu (như $x=2$) và kết quả là:
$$root(2x^{2}-x-2,x)=1,2807764064044$$
Ngoài ra ta có thể sử dụng phím $Shift+solve$ trên máy tính Casio $fx-570-ES$ nhập vào giá trị dự đoán ban đầu thì máy tính cũng đưa ra kết quà này
Hàm số có nhiều nghiệm
Nhiều hàm số có nhiều nghiệm, nên bạn cần phải hiểu rõ vấn đề sau đó cho máy tính một giá trị dự đoán ban đầu tốt nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình
$$1-t^{2}+2^{t}=0$$
(Các phần mềm khoa học không thể tìm cách giải chính xác cho chúng ta. Ta cần biết sử dụng công cụ hợp lý để giải, không hẳn phải dùng đồ thị hay công thức Newton. Điều này sẽ cho ta có đánh giá ban đầu về nghiệm phương trình)
Trả lời
Spoiler
Đặt:
$$y=1-t^{2}+2^{t}$$
Đồ thị hàm số $y(t)$:
Ta dễ có nhận định ban đầu rằng phương trình có hai nghiệm, một nghiệm gần $t=-1$ và nghiệm còn lại gần $t=3$. Tuy nhiên, nếu ta quan sát kỹ hơn khu vực gần $t=3$ (bằng cách phóng to) thì ta phát hiện ra còn một nghiệm nữa.
Bằng cách thay số thì ta được một nghiệm chính xác là $t=3$
Bây giờ với một nghiệm gần $t=3,4$
Ta sẽ dùng công thức Newton để tìm ra giá trị xấp xỉ của nghiệm. Ta cần tính vi phân $y=1-t^{2}+2^{t}$. Bởi vì ta có $t$ đóng vai trò lũy thừa trong phương trình trên, ta cần sử dụng Logarithms khi tính vi phân (các bạn có thể tham khảo cách tính vi phân hàm Logarithms trên Internet, tôi sẽ trình bày rõ hơn trong chương "Vi phân hàm số siêu việt").
$f'(x)$ chỉ đơn giản là giá trị của giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ thôi bạn, cái này mình có thể sử dụng vòng lặp để lập trình cho máy tính hoạt động. Mình xem thông tin của bạn thì mình nghĩ bạn chưa được học phần này, bạn có thể xem trên mạng để hiểu rõ hơn nhé.