Đến nội dung

Hình ảnh

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$

Đặt $a=x^2,b=2y+1$, ta được phương trình : 

$$a^{2}-b^{3}=1$$

Từ đây suy ra $$(b+1)(b^2-b+1)=a^2$$

Dễ chứng minh $gcd(b+1,b^2-b+1)=1$ nên $b+1,b^2-b+1$ đều chính phương.

Suy ra $A=(b+1)+(b^2-b+1)=b^2+2\equiv 3\;\;(mod\;4)$, chú ý $b$ lẻ.

Điều này là vô lí vì tổng của hai số chính phương thì chỉ có dạng $4k$ hoặc $4k+1$ hoặc $4k+2$.

Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét :

- Euler đã chứng minh được rằng phương trình Mordell $a^2-b^3=1$ chỉ có duy nhất nghiệm nguyên dương $(3,2)$, vô lí vì $b$ lẻ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-10-2013 - 18:20

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#4
minnam98

minnam98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Cái này mình nghĩ là đúng , bạn tham khảo nha

Đặt $x^{2}= a$ và $2y+1=b$ (a,b>0, b chẵn) $\Rightarrow$ a chẵn. Ta có :

 

         $a^{2}-1=b^{3} \Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )=b^{3}$

 

Do a chẵn nên $\left ( a-1,a+1 \right )= 1$ , do đó a-1 và a+1 phải là lập phương của một số nguyên

 suy ra x=0 , vô lý


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minnam98: 25-10-2013 - 15:32


#5
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà

Ờ, mình nhầm, xin lỗi bạn. Bạn trên có vẻ giải đúng rồi.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$

Bài này có thể là n lẻ $n^{3}+1$ không là số chính phương

em có cách hơi dài

Đặt 2y+1=n GS pt có nghiêm dương đặt $x^{4}=a^{2}

Ta có $(n+1)(n^{2}-n+1)=a^{2}$ Gọi d=(n+1;$(n^{2}-n+1)$) dẽ cm d=1 hoặc d=3

d=1(QED)

d=3 đăt n+1=3k $n^{2}-n+1=3m$(k,m)=1$\rightarrow km=t^{2}$

do đó k,m là số cp

Đặt $m=x^{2}$ta có n=3k-1$\rightarrow m=3k^{2}-3k+1\rightarrow x^{2}=3k^{2}-3k+1$

lấy delta ta được $12x^{2}-3=y^{2}\rightarrow y^{2}\vdots 3\Rightarrow y^{2}=9z^{2}$

y=0 loại

y>0 đặt x=ty$\rightarrow x^{2}(4-3z^{2})=1$(loại)

VẬY ....


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh