Chủ đề này có 1 trả lời

[kevotinh2802]

Chứng minh rằng Nhóm Gal($Q(\sqrt{3},\sqrt{2})$,Q) đẳng cấu với nhóm $Z_{2}\times Z_{2}$

[funcalys]

Ta có bậc của mở rộng là 4, đa thức tối tiểu là $x^4-10 x^2+1$. có giải thức bậc 3 là $x^3+10x^2-4x-40$.

Do biệt thức của giải thức bậc 3 là một số chính phương nên 

$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))\cong V\cong Z_2\times Z_2$ hoặc $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))\cong A_4$

Do nhóm Klein-4 $V$ không chứa vòng xích có độ dài 3 mà $A_4$ lại có nên ta chứng minh $V$ không chứa vòng xích độ dài-3

Giả sử nhóm Galois của giải thức có phép thế có độ dài 3, khi đó nếu ta thế các nghiệm của giải thức thì ta được tất cả các nghiệm, trái với giả thuyết giải thức

khả quy trên $\mathbb{Q}$ và dễ thấy giải thức bậc 3 tách được nên  $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))$ không chứa vòng xích độ dài-3, vậy $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))\cong V\cong Z_2\times Z_2$

__________________________________________________

Edit: Mình gõ nhầm: ta chứng minh nhóm Galois của đa thức không chứa vòng xich độ dài 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi funcalys: 25-10-2013 - 18:10