Đến nội dung


Hình ảnh

$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Creammy Mami

Creammy Mami

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Đã gửi 26-10-2013 - 19:48

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Creammy Mami: 26-10-2013 - 19:48


#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 26-10-2013 - 20:06



1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Làm thử câu 7  :wub:  :icon6:  :icon6:

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a^3>36\\ abc=1 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a>\sqrt[3]{36}>1\\ abc \end{matrix}\right.$

Dễ dàng lý luận rằng $a,b,c$ không thể cùng lúc bằng nhau

Ta có từ điều trên áp dụng AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bây giờ ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta có: $\leftrightarrow \frac{a^3}{3}>a^2$$\leftrightarrow a^3>3a^2$ (Chứng minh sau)

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2=a^2\\ \sqrt[3]{36}>3 \end{matrix}\right.\rightarrow \sqrt[3]{36}a^2>3a^2\Leftrightarrow a^3>3a^2\rightarrow Q.E.D$

Vậy ta có điều phải chứng minh  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:

p/s: Tưởng bác Creammy Mami lớp 10 cùng Annie mà, sao post ở đây :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 26-10-2013 - 20:10


#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 26-10-2013 - 20:41

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Mình chém trước bài 4 vậy:

                          Ta có:    $xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}$

                                         <=>$-xy\geq \frac{-\left ( x+y \right )^{2}}{4}$

                                         <=>$\left ( x+y \right )^{2}-xy+1\geq \frac{-\left ( x+y \right )^{2}}{4}+\left ( x+y \right )^{2}+1$

                                         <=>$\left ( x+y \right )^{2}-xy+1\geq \frac{3\left ( x+y \right )^{2}}{4}+1\geq 2\sqrt{\frac{3\left ( x+y \right )^{2}}{4}}=\sqrt{3}\left ( x+y \right )$       (đpcm)

                      dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$


:lol:Thuận :lol:

#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 26-10-2013 - 21:47

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Làm cái câu 2, thấy dễ nhất đề

$P=9(x+2y)^{2}+2(3y-2z)^{2}+8(x-z)^{2}+2x^{2}$

P/s : Thấy thằng nghiemthanhbach nói nhờ giúp nên giúp luôn!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KTBullets: 26-10-2013 - 21:48


#5 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 26-10-2013 - 23:45

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1

theo mình đề phải là : $pa^2+qb^2\geq pqc^2$


:lol:Thuận :lol:

#6 Creammy Mami

Creammy Mami

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Đã gửi 27-10-2013 - 06:23

theo mình đề phải là : $pa^2+qb^2\geq pqc^2$

Ừ mình nhầm, đề như vậy đó



#7 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 27-10-2013 - 12:51

Ừ mình nhầm, đề như vậy đó

mình chém bài 6:

         ta có p+q=1            => p=1-q thế vào ta được :

            $\left ( 1-q \right )a^{2}+qb^{2}\geq \left ( 1-q \right )qc^{2}$

         <=>$q^{2}c^{2}+q\left ( b^{2}-a^{2}-c^{2} \right )+a^{2}\geq 0$

                               $\Delta =\left ( b^{2}-a^{2}-c^{2} \right )^{2}-4c^{2}a^{2}=\left ( b^{2}-\left ( a+c \right )^{2} \right )\left ( b^{2}-\left ( a-c \right )^{2} \right )$

                                             $=\left ( b+a+c \right )\left ( b-a-c \right )\left ( b+a-c \right )\left ( b-a+c \right )$

                         mà a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên áp dụng a+b>c và a-b<c ta có$\Delta < 0$  

                    áp dụng nếu $\Delta < 0$ thì a và $f\left ( x \right )$ cùng dấu với $f\left ( x \right )$ là tam thức bậc 2

            suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#8 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 27-10-2013 - 16:32

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

 

Ta có: $(ax+by)(x+y)\geq cxy$ <=>$ax^{2}+axy +bxy+by^{2}-cxy\geq 0$

             <=> $ax^{2}+by^{2}+xy\left ( a+b-c \right )\geq 0$

             với y=o ta có bđt đúng

            với y khác 0 ,chia hai vế bđt cho y ,ta được:

            $a\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}+\frac{x}{y}\left ( a+b-c \right )+b\geq 0$

                     $\Delta =\left ( a+b-c \right )^{2}-4ab$

           ta dễ cm $\Delta \leq 0$ (vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)

        suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#9 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 27-10-2013 - 21:24

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bài 5 thiếu x à, $t<z<y$ vậy x đâu rồi hở anh :))



#10 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-10-2013 - 21:27

Bài 5 thiếu x à, $t<z<y$ vậy x đâu rồi hở anh :))

$t<z<y<x$



#11 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-10-2013 - 21:03



Làm thử câu 7  :wub:  :icon6:  :icon6:

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a^3>36\\ abc=1 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a>\sqrt[3]{36}>1\\ abc \end{matrix}\right.$

Dễ dàng lý luận rằng $a,b,c$ không thể cùng lúc bằng nhau

Ta có từ điều trên áp dụng AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bây giờ ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta có: $\leftrightarrow \frac{a^3}{3}>a^2$$\leftrightarrow a^3>3a^2$ (Chứng minh sau)

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2=a^2\\ \sqrt[3]{36}>3 \end{matrix}\right.\rightarrow \sqrt[3]{36}a^2>3a^2\Leftrightarrow a^3>3a^2\rightarrow Q.E.D$

Vậy ta có điều phải chứng minh  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:

p/s: Tưởng bác Creammy Mami lớp 10 cùng Annie mà, sao post ở đây :))

Bài này xem lại đi nhá chứng minh nhầm rùi đó

 



Ta có: $(ax+by)(x+y)\geq cxy$ <=>$ax^{2}+axy +bxy+by^{2}-cxy\geq 0$

             <=> $ax^{2}+by^{2}+xy\left ( a+b-c \right )\geq 0$

             với y=o ta có bđt đúng

            với y khác 0 ,chia hai vế bđt cho y ,ta được:

            $a\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}+\frac{x}{y}\left ( a+b-c \right )+b\geq 0$

                     $\Delta =\left ( a+b-c \right )^{2}-4ab$

           ta dễ cm $\Delta \leq 0$ (vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)

        suy ra đpcm

Bài này đoạn chứng minh $\Delta$ chưa hoàn toàn đúng đâu ~.~

 



1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

$\Leftrightarrow x^2(y^4+2y^2+1)+2x(2y+2y^3)+8y^2\geq 0$

Mà $\Delta'=-4(y^3+y)^2\leq 0\Rightarrow$ $\text{đpcm}$

 



5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

$\Leftrightarrow (x+y+z+t)^2-8(xz+yt)>0$

$VT=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+2xz+2xt+2yz+2yt-8xz-8yt=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+-6xz+2xt-6yt+2yz=z^2+2z(t-3x+y)+y^2-y(2x+6t)+x^2+2xt+t^2$

$\Delta z=8(z-y)(z-t)$

Mà $\left.\begin{matrix} z0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta z<0 & \\ a>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 29-10-2013 - 21:07


#12 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 29-10-2013 - 21:07

Bài này xem lại đi nhá chứng minh nhầm rùi đó

 

Bài này đoạn chứng minh $\Delta$ chưa hoàn toàn đúng đâu ~.~

 

$\Leftrightarrow x^2(y^4+2y^2+1)+2x(2y+2y^3)+8y^2\geq 0$

Mà $\Delta'=-4(y^3+y)^2\leq 0\Rightarrow$ $\text{đpcm}$

 

$\Leftrightarrow (x+y+z+t)^2-8(xz+yt)>0$

$VT=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+2xz+2xt+2yz+2yt-8xz-8yt=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+-6xz+2xt-6yt+2yz=z^2+2z(t-3x+y)+y^2-y(2x+6t)+x^2+2xt+t^2$

$\Delta z=8(z-y)(z-t)$

Mà $\left.\begin{matrix} z0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta z<0 & \\ a>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)>0$\rightarrow>

Hì hì bài đó không nhầm đâu Annie ơi

Làm lại nè:

Ta có bất đẳng thức AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Ta có:

$\sqrt[3]{36}>3\rightarrow \frac{a^3}{3}>\frac{a^3}{\sqrt[3]{36}}=\frac{a^3}{\sqrt[3]{a^3}}=\frac{a^3}{a}=a^2$

Thay vào bất đẳng thức AM-GM ta có điểu phải chứng minh

Lý do dấu bằng không xảy ra là vì $a>\sqrt[3]{36}>1$ mà $abc=1$ chắc chắn không thể thoả $a=b=c=1$ được :))

Sai chỗ nào :))






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh