Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:
a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$
Tks trước
Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:
a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$
Tks trước
Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:
a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$
Tks trước
Làm câu a nhé
Ta có áp dụng bất đẳng thức Schwarz:
$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$
$\rightarrow Q.E.D$
Câu a: Theo bdt Cosi có :$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2,\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2,\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2$
Cộng theo vế $= > \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac$(đpcm)
Câu b: Áp dụng bdt $x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Ta có :$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c$(đpcm)
Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:
a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$
Tks trước
Hì hì câu b luôn
dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:
$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$
Hì hì câu b luôn
dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:
$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$
Cách khác.
Theo Cauchy-Schwarz thì:
$\sum \dfrac{a^3+b^3}{2ab}=\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{a^2}{2c} \ge \dfrac{(2\sum a)^2}{4\sum a}=\sum a.$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh