Đến nội dung

Hình ảnh

CM: a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước



#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước

Làm câu a nhé :))

Ta có áp dụng bất đẳng thức Schwarz:

$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

$\rightarrow Q.E.D$



#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Câu a: Theo bdt Cosi có :$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2,\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2,\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2$

Cộng theo vế $= > \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac$(đpcm)

 

Câu b: Áp dụng bdt $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Ta có :$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c$(đpcm)



#4
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước

Hì hì câu b luôn :))

dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:

$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$



#5
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Hì hì câu b luôn :))

dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:

$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$

Cách khác.

Theo Cauchy-Schwarz thì:

$\sum \dfrac{a^3+b^3}{2ab}=\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{a^2}{2c} \ge \dfrac{(2\sum a)^2}{4\sum a}=\sum a.$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh