Chủ đề này có 5 trả lời

[Zeaynzs]

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

[nghiemthanhbach]

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

câu c cứ biến đổi tương đương là được

$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq 2a^2+2b^2-2ab$

Giả sử bất đẳng thức đúng ta có:

$a^3+b^3\geq a^2+b^2\rightarrow 2a^2+2b^2-2ab\geq a^2+b^2\rightarrow (a-b)^2\geq 0(lđ)$

$\rightarrow Q.E.D$

[leduylinh1998]

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

Câu b:

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:$\frac{1}{2}(a^{3}+b^{3})\geq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})(a+b)\geq \frac{1}{4}(a+b).2=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(đpcm)$

[leduylinh1998]

Mình làm câu b luôn mong các bạn xem giùm.

Ta có: $8.\sum a^{3}=4.\sum( a^{3}+b^{3})$

Ta cần chứng minh $4.\sum( a^{3}+b^{3})\geq \sum (a+b)^{3}$

Thật vậy, ta có:

$4( a^{3}+b^{3})\geq  (a+b)^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)-4a^{3}-4b^{3}\leq 0$

$\Leftrightarrow -3\left ( a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \right )\leq 0$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (đúng)

chứng minh tương tự, rồi cộng các BĐT vế theo vế ta được điều phải chứng minh

[SPhuThuyS]

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

$a)(a-b)^{2}(a+b)\geqslant 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geqslant 3ab(a+b)+(a^{3}+b^{3})=(a+b)^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 27-10-2013 - 10:58

[letankhang]

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

Cách khác cho câu a :

$BDT\Leftrightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ac(a+c)\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

Mà ta lại có :

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT cuối luôn đúng theo BĐT Schur nên ta có $Q.E.D$