Chủ đề này có 5 trả lời

[nhatnew]

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.

các pro giúp với

[anhxuanfarastar]

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.

các pro giúp với

Dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số trong số đó phải chia hết cho 9.

Mặt khác ta thấy 9 không thể phần tích thành tổng của 5 chữ số tự nhiên khác nhau nào cả cho nên không có số mà có 5 chữ số chia hết cho 9.

[hxthanh]

Xét tập các chữ số $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Vì số $x$ có 5 chữ số $10234\le x \le 98765$ nên tổng các chữ số của nó là $10\le S_x\le 35$. Suy ra $S_x=18$ hoặc $S_x=27$

Ta lập các tập con của $A$ có $1$ chữ số, $2$ chữ số, $3$ chữ số, $4$ chữ số chia hết cho $9$ là $X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}, X_{4i}$ sao cho

$X_{ji}\not\subset X_{ki},\quad \forall k>j$

Đó là các tập:

$\{0\};\quad\{9\}$

$\{1,8\};\quad\{2,7\};\quad\{3,6\};\quad\{4,5\}$

$\{1,2,6\};\quad\{1,3,5\};\quad\{2,3,4\}$

$\{3,7,8\};\quad\{4,6,8\};\quad\{5,6,7\}$

$\{1,4,6,7\};\quad\{2,3,5,8\}$

 

$\boxed{\text{Với }S_x=18}$ Ta có các trường hợp sau:

$\begin{bmatrix}\{1,2,6\}\\ \{1,3,5\}\\ \{2,3,4\}\end{bmatrix}\cup\{9\}\cup\{0\}\Rightarrow 3.4.4!$ số

$\begin{bmatrix}\{1,2,6\}\cup\{4,5\}\\ \{1,3,5\}\cup\{2,7\}\\ \{2,3,4\}\cup\{1,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 3.5!$ số

$\{0\}\cup \underbrace{\{1,8\};\;\{2,7\};\;\{3,6\};\;\{4,5\}}_{\text{2 trong 4 tập}}\Rightarrow C_4^2.4.4!$ số

$\{0\}\cup \begin{bmatrix}\{1,4,6,7\}\\ \{2,3,5,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 2.4.4!$ số

 

$\boxed{\text{Với }S_x=27}$ Ta có các trường hợp sau:

$\{9\}\cup \underbrace{\{1,8\};\;\{2,7\};\;\{3,6\};\;\{4,5\}}_{\text{2 trong 4 tập}}\Rightarrow C_4^2.5!$ số

$\begin{bmatrix}\{3,7,8\}\\ \{4,6,8\}\\ \{5,6,7\}\end{bmatrix}\cup\{9\}\cup\{0\}\Rightarrow 3.4.4!$ số

$\begin{bmatrix}\{3,7,8\}\cup\{4,5\}\\ \{4,6,8\}\cup\{2,7\}\\ \{5,6,7\}\cup\{1,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 3.5!$ số

$\{9\}\cup \begin{bmatrix}\{1,4,6,7\}\\ \{2,3,5,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 2.5!$ số

 

Tổng cộng có tất cả $3.4.4!+3.5!+C_4^2.4.4!+2.4.4!+C_4^2.5!+3.4.4!+3.5!+2.5!=3024$ số tự nhiên có $5$ chữ số phân biệt chia hết cho $9$

[hxthanh]

Hoàn toàn tương tự với bài $6$ chữ số phân biệt

Với các tập

$\{0\};\quad\{9\}$

$\{1,8\};\quad\{2,7\};\quad\{3,6\};\quad\{4,5\}$

$\{1,2,6\};\quad\{1,3,5\};\quad\{2,3,4\}$

$\{3,7,8\};\quad\{4,6,8\};\quad\{5,6,7\}$

$\{1,4,6,7\};\quad\{2,3,5,8\}$

 

Lưu ý

$(6=3+3=3+2+1=2+2+2=2+2+1+1=4+1+1)$

Ta có tất cả các kết hợp sau

 

$\left.\begin{matrix} \{1,2,6\}\cup\{3,7,8\}\\ \{1,3,5\}\cup\{4,6,8\}\\ \{2,3,4\}\cup\{5,6,7\}\end{matrix} \right\}\Rightarrow 3.6!$ số

 

$\left.\begin{matrix} \left.\begin{matrix}\{1,2,6\}\\ \{3,7,8\}\end{matrix} \right]\cup\{4,5\}\\ \left.\begin{matrix}\{1,3,5\} \\ \{4,6,8\} \end{matrix} \right]\cup\{2,7\}\\ \left.\begin{matrix} \{2,3,4\}\\ \{5,6,7\}\end{matrix} \right]\cup\{1,8\}\end{matrix} \right] \cup \begin{cases}\{0\}\quad\Rightarrow 6.5.5!\;\text{ số } \\ \{9\}\quad\Rightarrow 6.6!\;\text{ số }\end{cases}$

 

$\{1,8\}\cup\{2,7\}\cup\{4,5\}\Rightarrow 6!$ số

 

$\begin{matrix}\underbrace{\{1,8\};\;\{2,7\};\;\{3,6\};\;\{4,5\}}_{\text{chọn 2 trong 4 tập}}\end{matrix}\cup\{0\}\cup\{9\}\Rightarrow C_4^2.5.5!$ số

 

$\left.\begin{matrix} \{1,4,6,7\}\\ \{2,3,5,8\}\end{matrix}\right]\cup\{0\}\cup\{9\}\Rightarrow 2.5.5!$ số

 

 

Tổng cộng có tất cả $3.6!+6.5.5!+6.6!+6!+C_4^2.5.5!+2.5.5!=15600$ số tự nhiên có $6$ chữ số phân biệt chia hết cho $9$

[nhatnew]

tks may brồ

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
các pro giúp với

Cách khác :
Trước hết, xem chữ số 0 ngoài cùng bên trái là có nghĩa.
Xét hàm sinh :
$$f(x,y)=(1+y)(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^9y)$$
trong đó, $x$ đại diện cho các chữ số, $y$ đại diện cho số chữ số.
Với sự trợ giúp của máy tính, ta có số các số có 5 chữ số chia hết cho 9:
$[y^5]f(x,y)=14x^{27}+14x^{18}$
$\Rightarrow 5![y^5]f(x,y)=5!(14+14)=3360$
Số các số có 4 chữ số (không có chữ số 0) chia hết cho 9:
Hàm sinh :
$$g(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^9y)$$
$\Rightarrow [y^4]g(x,y)=3x^{27}+11x^{18}$
$\Rightarrow 4![y^4]g(x,y)=4!(3+11)=336$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$3360-336=\boldsymbol {3024}$
Hoặc không cần tính số các số có 4 chữ số nếu có nhận xét :
Vì các chữ số có vai trò như nhau nên số các số bắt đầu là chữ số 0 chiếm $1/10$ số các số. Suy ra số các số thỏa yêu cầu là :
$3360(1-\frac{1}{10})=\boldsymbol {3024}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-04-2023 - 20:38