Chủ đề này có 1 trả lời

[FreeSky]

$(x^{3}+\frac{6}{x^{2}})^{n}$

Biết hệ số của số hạng không chứa x gấp 5 lần hệ số của số hạng chứa $x^{5}$.

Tìm tổng các hệ số của khai triển trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FreeSky: 03-11-2013 - 20:49

[hxthanh]

$\left(x^3+\dfrac{6}{x^2}\right)^n=(x^3+6x^{-2})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{3n-3k}6^kx^{-2k}=\sum_{k=0}^n 6^k C_n^k x^{3n-5k}$

 

Hệ số của $x^0$ tương ứng với $3n-5k=0\Rightarrow  k=\frac{3n}{5} \in\mathbb N$ là $6^{\frac{3n}{5}}C_{n}^{\frac{3n}{5}}$

Hệ số của $x^5$ tương ứng với $3n-5k=5\Rightarrow  k=\frac{3n}{5}-1\in \mathbb N$ là $6^{\frac{3n}{5}-1}C_{n}^{\frac{3n}{5}-1}$

 

Từ giả thiết suy ra:

 

$6^{\frac{3n}{5}}C_{n}^{\frac{3n}{5}}=5.6^{\frac{3n}{5}-1}C_{n}^{\frac{3n}{5}-1}$ với $\frac{3n}{5}\in \mathbb N$

 

Hay $6.C_n^{\frac{3n}{5}}=5.C_n^{\frac{3n}{5}-1}$

 

$6.C_{5m}^{3m}=5.C_{5m}^{3m-1}$ với $n=5m$

$\Leftrightarrow 6\cdot \dfrac{(5m)!}{(3m)(3m-1)!(2m)!}=5\cdot \dfrac{(5m)!}{(3m-1)!(2m+1)(2m)!}$

 

Hay $\dfrac{6}{3m}=\dfrac{5}{2m+1}\Rightarrow m=2\Rightarrow n=10$

 

Tổng các hệ số cần tìm là $\sum_{k=0}^{10}6^k C_{10}^k=(1+6)^{10}=7^{10}$