Cho a;b;c>0
1. Với a+b+c=1. CMR:$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}$
2. Với ab+bc+ca=1. CMR: $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{2}$
3. Với $a^2+b^2+c^2=3. CMR:\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$
Bài 1: Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c>0$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có
$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3}\left [ \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right ]=\frac{1}{3}\sum \frac{1}{(a+b)^2}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geqslant \frac{(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})^2}{3}\geqslant \frac{(\frac{9}{2(a+b+c)})^2}{3}=\frac{27}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài 2: Đặt $a=\tan \frac{A}{2},...$
BĐT trở thành $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}\leqslant \frac{3}{2}$
Bài 3: Đặt $(\frac{ab}{c},\frac{bc}{a},\frac{ca}{b})=(x,y,z)\Rightarrow P=x+y+z$
Từ giả thiết ta có $xy+yz+zx=3$
Khi đó áp dụng AM-GM đơn giản ta có
$P=x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$