Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
An172

An172

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Trích: đề thi hsg sáng nay của huyện Điện Bàn-Quảng Nam ^^

 



#2
neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Ta có

$4P=\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\leq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\leq 2.\frac{1}{4}.2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=2013$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow $a=b=c=\frac{1}{671}$



#3
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Trích: đề thi hsg sáng nay của huyện Điện Bàn-Quảng Nam ^^

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$

Nên $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$

Tương tự

$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b=c \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2013 \end{matrix}\right.$

Đến đây tự tìm dấu bằng nhá



#4
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

chứng minh $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

tương tự cộng vế


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#5
An172

An172

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Ừ,mình hiểu rồi,cám ơn mấy bạn nhé,vậy mà lúc sáng làm không ra :(

 

 

 

 

ĐHV : Lần sau cám ơn chỉ cần ấn chữ ''Thích'' chỗ bài viết bạn muốn cám ơn. Đừng viết như thế này nữa nhé. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 07-11-2013 - 21:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh