Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$

- - - - - hà anh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

giải các hệ phương trình sau

B1,

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\ y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2} \\ z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

B2,

$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$

 



#2
arsenal20101998

arsenal20101998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

B1:

Nếu $x=0$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$

Xét$x,y,z\neq 0$

Hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2=4+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=5+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \end{matrix}\right.$

Cọng các vế lại, ta được

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=12+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây tìm đc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ và thế vào các pt, ta tìm được $x,y,z$



#3
GSXoan

GSXoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

giải các hệ phương trình sau

B1,

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\ y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2} \\ z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

B2,

$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$

B2)

Nhận thấy hệ không có các nghiệm $(\pm1,y,z); (x,\pm1,z);(x,y,\pm1)$ 

Với $x,y,z \neq \pm 1$, viết lại hệ dưới dạng:

$\left\{\begin{matrix} y= \frac{2x}{1-x^2} \\ z= \frac{2y}{1-y^2} \\ x=\frac{2z}{1-z^2} \end{matrix} \right.$

Với điều kiện đó đặt $x=\tan \alpha \: (1), \alpha \in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , với $\tan \alpha, \tan 2\alpha, \tan 4\alpha \neq \pm1$

Với $x=\tan \alpha \Rightarrow y= \dfrac{2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}= \tan 2\alpha$

Với $y= \tan 2\alpha \Rightarrow z= \dfrac{2 \tan 2\alpha}{1- \tan^2 2\alpha}= \tan 4\alpha$ 

Với $z=\tan 4\alpha \Rightarrow x= \dfrac{2 \tan 4\alpha}{1- \tan^2 4\alpha}= \tan 8\alpha    (2)$

Từ (1) và (2) $\rightarrow \tan \alpha =\tan 8\alpha \Leftrightarrow \alpha= k \frac{\pi}{7}, k \in \mathbb{Z}$

Vì $\alpha \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} ) \Rightarrow \frac{-\pi}{2} <k \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ 

mà $k \in \mathbb{Z} \rightarrow k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$

Nên: $x=\tan k\frac{\pi}{7} ; y= \tan k \frac{2\pi}{7} ; z= \tan k \frac{4\pi}{7} $

với $ k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$   $\square$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 10-11-2013 - 10:24






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hà anh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh