Cho dãy số $\{x_n\}$ thỏa $x_1=1;x_{n+1}=\frac{n}{x_n}+\frac{x_n}{n}$. Chứng minh $$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_n^2}{n}=1; \; \lim\limits_{n\to +\infty}(x_n^2-n)=\frac{1}{2}$$
$\bullet$ Chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_n^2}{n}=1$
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng $\sqrt{n}<x_n<\sqrt{n}+1$.
Với $n=1,n=2$ đúng. Giả sử nó đúng tới $n=k \geq 2 \Rightarrow \sqrt{k}<x_k< \sqrt{k}+1$.
Xét hàm số $f_k(x)= \frac {x} {k} + \frac {k} {x}$ trên $(\sqrt{k};\sqrt{k}+1)$
Ta có $f'(x)= \frac {x^2-k^2} {x^2} < 0 $ do $x< \sqrt{k}+1<k (k \geq 2)$
Suy ra $f(\sqrt{k})> f(x_k) > f(\sqrt{k}+1)$
Mặt khác dễ dàng kiểm tra được rằng $f(\sqrt{k}) < \sqrt{k+1} +1$ và $f(\sqrt{k}+1) > \sqrt{k+1}$
nên ta suy ra $\sqrt{k+1}+1 > x_{k+1} > \sqrt{k+1}$.
Từ đó áp dụng nguyên lý kẹp ta thu được $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {x_n}{\sqrt{n}}=1$.
Vậy ta có đpcm.
$\bullet$ Chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty} (x_n^2-n) = \frac {1} {2}$.
Lập dãy $(y_n) y_n=x_n^2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1=1 & \\ y_{n+1}=\frac {y_n}{n^2}+\frac{n^2}{y_n}+2 & \end{matrix}\right$
Bằng cách tương tự như câu a, ta chứng minh được BĐT sau với mọi $n \geq 2$
$$n+\frac{1}{2}<y_n<n+\frac{1}{2}+\frac{5n^2+4+1}{4n^3-2n^2-8n-4}$$
Áp dụng nguyên lí kẹp ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 14-11-2013 - 19:49