Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 09-11-2013 - 22:08

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các cạnh của 1 tam giác, cmr: 

 

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq \frac{3}{2}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 11-11-2013 - 12:58



#2 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 10-11-2013 - 21:42

Không biết đúng không nữa! :unsure:

Đặt $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}$

$S=a(a^{2}+3bc)+b(b^{2}+3ca)+c(c^{2}+3ab)$

Thì theo BDT Holder ta có              $P^{2}.S\geq (a+b+c)^{3}$

Cần chứng minh $S\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$

Hay $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$  

$\Leftrightarrow 9(a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc)\leq 4(a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow 12(a+b)(b+c)(c+a)\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})+81abc$

$\Leftrightarrow 12\left [ a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \right ]\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})-15abc\geq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi neversaynever99: 10-11-2013 - 22:46


#3 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 10-11-2013 - 21:58

Với a = b = 1, c = 10 thì $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 3bc}}$ = $\frac{b}{\sqrt{b^{2} + 3ca}}$ = $\frac{1}{\sqrt{31}}$, $\frac{c}{\sqrt{c^{2} + 3ab}} = \frac{10}{\sqrt{103}}$

mà $\frac{2}{\sqrt{31}} + \frac{10}{\sqrt{103}}$ = 1,34 < $\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ Bđt sai


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 10-11-2013 - 22:01

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#4 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 10-11-2013 - 22:20

Không biết đúng không nữa! :unsure:

Đặt $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3ab}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3bc}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ca}}$

$S=a(a^{2}+3ab)+b(b^{2}+3cb)+c(c^{2}+3ca)$

Thì theo BDT Holder ta có              $P^{2}.S\geq (a+b+c)^{3}$

Cần chứng minh $S\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$

Hay $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$  

$\Leftrightarrow 9(a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc)\leq 4(a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow 12(a+b)(b+c)(c+a)\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})+57abc$

$\Leftrightarrow 12\left [ a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \right ]\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})-15abc\geq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

hình như đoạn này có vấn đề bạn ạ



#5 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 10-11-2013 - 22:25

Đúng rồi anh ạ!Em đang sửa đóng đó!



#6 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 10-11-2013 - 22:43

Không biết đúng không nữa! :unsure:

Đặt $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3ab}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3bc}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ca}}$

$S=a(a^{2}+3ab)+b(b^{2}+3cb)+c(c^{2}+3ca)$

Thì theo BDT Holder ta có              $P^{2}.S\geq (a+b+c)^{3}$

Cần chứng minh $S\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$

Hay $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$  

$\Leftrightarrow 9(a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc)\leq 4(a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow 12(a+b)(b+c)(c+a)\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})+81abc$

$\Leftrightarrow 12\left [ a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \right ]\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})-15abc\geq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Đống này không ổn lắm



#7 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1702 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A2 K39 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 19-12-2021 - 22:07

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}=\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^{3}+3abc}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}.\sqrt{b^{3}+3abc}}+\frac{c^2}{\sqrt{c}.\sqrt{c^{3}+3abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^{3}+3abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^{3}+3abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^{3}+3abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+9abc)}}$

Ta cần chứng minh: $\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+9abc)}}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+9abc}\geqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow 12[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geqslant 5(a^3+b^3+c^3)+57abc$

Mà theo AM-GM, ta có: $6(a^3+b^3+c^3+9abc)\geqslant 5(a^3+b^3+c^3)+57abc$

Nên ta cần chứng minh: $2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geqslant a^3+b^3+c^3+9abc\Leftrightarrow (3a-b-c)(b-c)^2+(b+c-a)(a-b)(a-c) \geqslant 0$

Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ thì bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh